球面像差

单球面

一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离，球面左右介质的折射率分别为n，n'；非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U，U'；近轴光线的入射角为i；这个球面对球面像差的贡献为[1]

球面像差=${\displaystyle {\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}}}$

在四种情况下，球面像差为零：

1. PA=0：物体和像与球面顶点重合；
2. I'=I：物体和物象在球面的曲率中心；
3. i=0；
4. I=U'或I'=U：在这种情形下的球面成为消球差曲面。

消球差球面

根据球面折射的基本方程可以导出[2]：

${\displaystyle L={\frac {r*(n+n')}{n}}}$

${\displaystyle L'={\frac {r*(n+n')}{n'}}}$

对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

${\displaystyle BC=L-r=r*{\frac {n}{n'}}}$

${\displaystyle BC=L'-r=r*{\frac {n'}{n}}}$

例如，n=1，n'=1.5[3]。

${\displaystyle L=2.5*r}$

${\displaystyle L'=1.6667*r}$

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜[4][3]。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度[5]。

同轴球面系

对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由以下公式给出[6]：

LA'=trans+newsp

其中 trans=${\displaystyle {\frac {LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}}}$

newsp= ${\displaystyle \sum _{k=1}^{k}({\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}}}$

維基教科書中的相關電子：球面像差

球面像差可表示为

LA'=${\displaystyle a*Y^{2}+b*Y^{4}+c*Y^{6}+}$………………[7][8]。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

球面像差
红线代表二次项，蓝线代表二次和四次项之和，黑线为二、四、六次项之和

亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下[9][10]:

SC=${\displaystyle {\frac {y^{4}}{n_{0}'*u_{0}^{2}}}*\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})}$。

其中“0”代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和

${\displaystyle c={\frac {1}{f*(n-1)}}}$

${\displaystyle c={\frac {1}{r_{1}}}}$

${\displaystyle G_{1}={\frac {n^{2}*(n-1)}{2}}}$

${\displaystyle G_{2}={\frac {1}{2}}*(2*n+1)(n-1)}$

${\displaystyle G_{3}={\frac {1}{2}}*(3n+1)(n-1)}$

${\displaystyle G_{4}={\frac {1}{2*n}}*(n+2)(n-1)}$

${\displaystyle G_{5}{\frac {1}{2*n}}*(n^{2}-1)}$

${\displaystyle G_{6}={\frac {1}{2*n}}*(3*n+2)}$

对于单薄镜片，上式可简化为[11]。

单镜片的球面像差=LA'=${\displaystyle -y^{2}*l'^{2}*(\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})}$

令上式对c_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件[12]:

${\displaystyle {\frac {dLA'}{dc_{1}}}}$=${\displaystyle -y^{2}*l'^{2}*(-G_{2}*c^{2}+2*G_{4}*c*c_{1}-G_{5}*c*v_{1})=0}$

即 ${\displaystyle c_{1}={\frac {G_{2}c+G_{5}v_{1}}{2G_{4}}}}$=${\displaystyle {\frac {0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_{1}}{n+2}}}$.

当物距为无穷远时，v_1=0;

于是

${\displaystyle {\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {2n-n-4}{n*(2n+1)}}}$[13]。

1. Kingslake p104
2. Rudolf Kingslake p104-105
3. Rudolf Kingslake p105
4. Moritz von Rohr p244
5. Rudolf Kingslake p106
6. Rudolf Kingslake p104
7. A.E.Conrady p101
8. Kingslake p114
9. Alexander Eugen Conrady, p95
10. Kingslake p117
11. Kingslake p118
12. Kingslake, p118
13. Kingslake p119

• von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. . H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.

• Conrady亚历山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. . DOVER PUBLICATION. 1957.

• Kingslake 鲁道夫·京斯莱克, Rudolf. . ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X.

• 像差
• 哈伯太空望遠鏡
• 馬克蘇托夫望遠鏡
• 拋物面反射鏡
• 里奇-克萊琴望遠鏡（RCT）
• 施密特修正板
• 弱聚焦