理想的根

設 ${\displaystyle R}$ 為交換環，${\displaystyle I\subset R}$ 為其理想。該理想的冪零根 ${\displaystyle \mathrm {Rad} (I)}$（或 ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$）定義為

${\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\{r\in R|\exists n,\;r^{n}\in I\ \}}$。

由二項式定理可知 ${\displaystyle \mathrm {Rad} (I)}$ 也是一個理想，並包含 ${\displaystyle I}$。當取 ${\displaystyle I=\{0\}}$ 時，相應的根即是冪零元素的集合，也稱作環的冪零根，有時記為 ${\displaystyle \mathrm {nil} (R)}$。記 ${\displaystyle \pi :R\to R/I}$ 為商同態，則

${\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\pi ^{-1}({\hbox{nil}}(R/I))}$

利用局部化技巧，也可證明

${\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec}}(R):P\supset I\}}$。

為具體起見，考慮較簡單的例子 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$。每個非零理想都可寫成 ${\displaystyle I=(\prod _{i}p_{i}^{e_{i}})}$，此處 ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ 取遍所有素數，${\displaystyle e_{i}}$ 則是非負整數。易證

${\displaystyle {\sqrt {I}}=(\prod _{e_{i}>0}p_{i})}$。

設 ${\displaystyle R}$ 為環（未必交換），其雅各布森根 ${\displaystyle J(R)}$ 定義為所有單右 ${\displaystyle R}$-模的零化子之交。對於雙邊理想 ${\displaystyle I\subset R}$，設 ${\displaystyle \pi :R\to R/I}$ 為商同態，定義 ${\displaystyle J(I):=\pi ^{-1}(J(R/I))}$。

雅各布森根還有諸種等價的定義。當 ${\displaystyle R}$ 交換時，有下述簡單的性質：

${\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec-max}}(R):P\supset I\}}$。

換言之，此即所有包含 ${\displaystyle I}$ 的極大理想之交。由此立見 ${\displaystyle J(I)\supset {\hbox{Rad}}(I)}$。

• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.