環形摺積

兩個函數的環形摺積定義為對一個或兩個函數做週期延伸後之摺積運算，而所謂的週期延伸是指原來的函數平移固定長度的整數倍再全部加起來所產生的新函數。 x(t)經過週期延伸後之函數可寫成下式:

${\displaystyle x_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t+kT).}$

其中T為週期(即週期延伸中的固定長度)

對x(t)與h(t)計算環形摺積的運算(${\displaystyle x(t)\otimes h(t)}$)可以下列兩種等價表示式定義:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau \quad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\quad x_{T}(t)*h(t),\end{aligned}}}$

其中*表示線性摺積運算子

此兩定義的等價關係證明如下:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}+kT}^{t_{o}+(k+1)T}h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \right]\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau -kT)\ d\tau \right]\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \right]\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau )\right]\ d\tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\right]\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \\&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \quad \quad {\mbox{QED}}\end{aligned}}}$

上述為針對兩個連續信號(函數)的環形摺積之定義的說明，類似的，我們對於週期為N的離散信號之環形摺積(${\displaystyle x[n]\otimes h[n]}$)有如下的定義:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{N}[n]*h[n]\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot x_{N}[n-m]\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-m-kN].\,\end{aligned}}}$

離散信號的環形摺積可以結合快速傅立葉變換與摺積理論做相當有效率的計算，然而，在實際上信號處理或系統理論的應用，線性摺積運算較常被考慮也較有物理意義，於是，如果可將一個線性摺積的計算問題轉化為求算環形摺積，則一般當兩個輸入信號長度相距不遠時，往往計算量可以大為減少，增加了計算線性摺積的效率，至於線性摺積與環形摺積的關係以及如何利用環形折積與傅立葉變換求得線性摺積結果，將於下文進一步討論。

由以上討論知道一般的情況，線性摺積與環形摺積的輸出結果並不會相同，且一般線性摺積較實用而有意義。然而離散信號的處理上，由於環形摺積可以藉由快速傅立葉變換較有效率的求得，所以兩輸入信號的線性摺積，如何利用環形摺積與快速傅立葉變換得到，在信號處理及相關應用上是特別重要的。

我們根據摺積理論知道

${\displaystyle y[n]=x[n]\star h[n]=\sum _{k}{x[n-k]h[k]}}$

${\displaystyle y[n]=IFFT(FFT{x[n]}FFT{h[n]})}$

然而FFT的點數該如何選取呢？ 因為FFT與IFFT的點數皆要是一樣的，且特別要注意的一點是:

${\displaystyle y_{1}[n]=IFFT_{L}(FFT_{L}{x_{1}[n]}FFT_{L}{h_{1}[n]})}$

${\displaystyle y_{1}[n]=\sum _{k=0}^{N-1}{x[((n-k))_{L}]h[k]}}$

其中FFT_L為L點FFT；IFFT_L為L點IFFT ((a))_L: a除以L的餘數

上式表示根據摺積理論與快速傅立葉變換，我們求得的是兩個輸入信號的環形摺積而不是線性摺積

${\displaystyle y[n]=x[n]\star h[n]=\sum _{k}{x[n-k]h[k]}}$

依據兩個輸入信號的長度，計算方法可分類如下:

當計算摺積之兩信號長度相差很大時，利用快速傅立葉變換計算摺積是較沒有效率的，此時較有效率的方法是將較長的信號切成一段段的區塊，以此每一區塊對另一輸入信號進行摺積再合併，常見的區塊摺積方法包括重疊-相加之摺積法與重疊-儲存之摺積法，針對長度的不同，區塊長度的選取亦會影響計算的效率。

• 摺積
• 離散傅立葉變換
• 區塊摺積

• Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard. . Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. 1975: pp 63–67. ISBN 0-13-914101-4. 引文格式1维护：冗余文本 (link).
• Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. . Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2..
• Jian-Jiun Ding, Advanced digital signal processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.