皮爾森卡方檢定

「皮爾森卡方檢定」的虛無假設（H₀）是：一個樣本中已發生事件的次數分配會遵守某個特定的理論分配。

在虛無假設的句子中，「事件」必須互斥，並且所有事件總機率等於1。或者說，每個事件是類別變數（英語：）的一種類別或級別（英語：）。

簡單的例子：常見的六面骰子，事件＝丟骰子的結果（可能是1~6任一個）屬於類別變數，每一面都是此變數的一種（一個級別）結果，每種結果互斥（1不是2, 3, 4, 5, 6; 2不是1, 3, 4 ...），六面的機率總和等於1。

「皮爾森卡方檢定」可用於三種情境的變項比較：拟合度检验、同质性检验和獨立性檢定。

• 「適配度檢定」驗證一組觀察值的次數分配是否異於理論上的分配。
• 「同质性检验」可以比较在使用相同的分类变量时，两组或两组以上群体的计数分布。
• 「獨立性檢定」驗證從兩個變數抽出的配對觀察值組是否互相獨立（例如：每次都從A國和B國各抽一個人，看他們的反應是否與國籍無關）。

不管哪個檢定都包含三個步驟：

1. 計算卡方檢定的統計值「 ${\displaystyle \chi ^{2}}$ 」：把每一個觀察值和理論值的差做平方後、除以理論值、再加總。
2. 計算 ${\displaystyle \chi ^{2}}$ 統計值的自由度「${\displaystyle df}$」。
3. 依據研究者設定的置信水平（顯著性水平、P值或對應Alpha值），查出自由度為 ${\displaystyle df}$ 的卡方分配臨界值，比較它與第1步驟得出的 ${\displaystyle \chi ^{2}}$ 統計值，推論能否拒絕虛無假說。

適配度檢定（英語：）：測試樣本的機率分配與母體有多相似。

在同一個個體（例如：同一個人）身上有兩個二元變數（X, Y），例如 X（男／女）和 Y（右撇子／左撇子），觀察兩個變數的相關性。虛無假設是：兩個變數呈統計獨立性。在本例中：性別與慣用手是獨立事件。

• 首先，每個觀察值（每個抽出的人）會被重新編排到一個叫做「列聯表」（英語：，又稱：條件次數表）的二維表格裡。本例的列聯表是2×2的構造（不算入Total欄位）：

• 如果列聯表共有 r 行 c 列，那麽在獨立事件的假設下，每個欄位的「理論次數」（或期望次數）為：

${\displaystyle E_{i,j}={\frac {\left(\sum _{n_{c}=1}^{c}O_{i,n_{c}}\right)\cdot \left(\sum _{n_{r}=1}^{r}O_{n_{r},j}\right)}{N}}}$，

其中 N 是樣本大小（觀察值的個數，亦即2×2列聯表所有欄位的總和，本例：N = 100）。本例的各欄位期望值如下（括號裡的數字）：

• ${\displaystyle \chi ^{2}}$統計值的公式是：

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{c}{(O_{i,j}-E_{i,j})^{2} \over E_{i,j}}.}$

本例的${\displaystyle \chi ^{2}}$統計值是：

${\displaystyle \chi ^{2}=(43-45.24)^{2}/45.24+(44-41.76)^{2}/41.76+(9-6.76)^{2}/6.76+(4-6.24)^{2}/6.24=1.777}$

• 自由度 ${\displaystyle df=(r-1)(c-1)}$ 是這樣得出：雖然總共要計算 ${\displaystyle rc}$ 個離差平方（每個欄位計算一次觀察值與理論值的差，再平方），但 X 變數有1個限制條件（樣本抽出後，男性的人數即固定），Y 變數也有1個限制條件（樣本抽出後，右撇子的人數即固定），所以可自由變動的欄位數只有 ${\displaystyle (r-1)(c-1)}$。

在本例中${\displaystyle df=(2-1)\times (2-1)=1}$。

• 在${\displaystyle \chi ^{2}=1.777,df=1}$ 的條件下，得出卡方分配右尾機率${\displaystyle p=0.1825}$ ，無法拒絕虛無假設，亦即：無法拒絕性別變數與慣用手變數互相獨立的假設。

1. 如果個別欄位的期望次數太低，會使機率分配無法近似於卡方分配。一般要求：自由度 ${\displaystyle df>1}$時，期望次數小於5的欄位不多於總欄位的20%。
2. 若自由度 ${\displaystyle df=1}$，且若期望次數 ${\displaystyle <10}$ ，則近似於卡方分配的假設不可信。此時可以將每個觀察值的離差減去 ${\displaystyle 0.5}$ 之後再做平方，這便是葉慈連續校正。