直升機方塊

直升機方塊是一個十二軸的魔術方塊，以轉動其稜為主，可以進行混元轉動（jumbling move）[9]，因此有時被稱為十二軸轉棱正六面體。其外型是一個立方體，切割成8個角塊和24個中心塊。每個角塊有三種顏色，而每個中心塊只有一種顏色。與一般的立方體魔術方塊不同，直升機方塊的面無法轉動，其是透過沿著邊轉動來打亂每一塊的位置。

當一個稜被轉動180度時，其兩個角塊會對調，並交換了與該稜相鄰的兩個面的兩個中心塊，並且會維持立方體的形狀。一般而言，這種方塊用這種方法就能打亂了。[9]

如果僅使用180°的轉動來打亂直升機方塊，則僅使用180°的轉動即可解完直升機方塊。但如果使用了混元轉動，即使將直升機方塊轉回立方體形狀，也可能會出現僅使用180°的轉動也無法解開的情況。因為在僅使用180°的轉動情況下，每個面中心塊只能在特定的6元循環位置（通常稱其為軌道）內進行排列。[6]僅使用180°的轉動無法互換不同軌道中的面塊。然而混元轉動可以導致中心面塊的軌道中混入角塊，甚至可以交換不同軌道中的面塊，因此會出現僅使用180°的轉動也無法解開的情況。

直升機方塊有多種還原方法。以下列出多種方法的其中一種。這種直升機方塊的解法大致可以分成7個步驟：首先，先將直升機方塊轉回立方體形狀，第二步讓每個中心面塊的6元循環軌道都有六種顏色；第三部求解底面中心（如果有邊塊也需求解）；第四步將底部角塊轉到對應位置；第五步為求解側面下半部分的中心塊（如果有邊塊也需求解）；第六步是將頂部的角塊解好；最後一步是解完頂面的中心塊（如果有邊塊也需求解）即完成求解。[11]

假設直升機方塊在沒有使用混元轉動的情況下被轉亂（即每個步驟都是轉動180度），此時角的任何排列都是可能的，包括奇數排列。其中七個角可以獨立旋轉，第八個角的方向取決於其他七個角，因此這部分能產生8!×3⁷種變化。

中心的面塊共有24塊，理論上可以有24的階乘種排列方式。但中心的面塊只能在4個軌道上任意排列，每個軌道都包含所有顏色。因此排列的數量減少到只有6!⁴種排列方式。[11]而中心的面塊的排列是偶排列，因此排列數再除以二。

假設立方體在空間中沒有固定的方向，並在不扭轉立方體的情況下轉動整個立方體能得到相同的顏色排列情況視為相同況的話，則排列的數量應減少24倍。這是因為立方體的所有24種可能的位置和方向由於缺乏固定中心，則他們皆與第一個角度的排列方式是等效的。這種情況只出現在計算N×N×N魔術方塊的N為偶數時。當N×N×N魔術方塊的N為奇數時，這種情況就不會發生，因為奇數階數有可參考的中心塊可以確定方向。因此除以二十四可視為將最開始的8!×3⁷的8!除以8以及3⁷除以3（8乘3等於24）得到7!×3⁶。

因此直升機方塊（無混元轉動）的總變化數為：

${\displaystyle {\frac {7!\cdot 3^{6}\cdot 6!^{4}}{2}}\approx 4.94\times 10^{17}.}$

整個值為7017493694233804800♠493694233804800000（其數量級約在49京）[6]

若允許混元轉動，但確保方塊都維持在立方體的形狀，則變化數有：

${\displaystyle {\frac {7!\cdot 3^{6}\cdot 24!}{4!^{6}}}\approx 1.19\times 10^{22}.}$

整個值為7022119287870206280♠11928787020628077600000（其數量級約在119垓）[11]

若允許混元轉動，並允許方塊轉成非立方體的狀態，則需要依條件討論數種狀態下的變化數。其總共的變化數為7028155686535905933♠15568653590593384802320800000（約1.56×10²⁸，數量級約在1.6穰）[11]。

• Square 1：另一種可以變形的魔術方塊