矩阵的平方根

如果矩阵的系数域是代数闭域，比如说复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$的时候，对于一个对角矩阵，其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵。一个所谓的可对角化矩阵A是指可以通过相似变换成为对角矩阵D的矩阵：

${\displaystyle \exists P,\quad A=PDP^{-1}}$

其中的矩阵P是可逆的矩阵。在这种情况之下，假设矩阵D的形式是：

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&d_{n}\end{bmatrix}}}$

那么矩阵A的平方根就是：

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=PD^{\frac {1}{2}}P^{-1}}$

其中的${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}$是：

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {d_{1}}}&0&0&\cdots &0\\0&{\sqrt {d_{2}}}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&{\sqrt {d_{n-1}}}&0\\0&\cdots &0&0&{\sqrt {d_{n}}}\end{bmatrix}}}$[2]

另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个${\displaystyle n\times n}$矩阵A的平方根时，先设矩阵${\displaystyle Y_{0}=A}$，${\displaystyle Z_{0}=I_{n}}$（${\displaystyle I_{n}}$是${\displaystyle n\times n}$的单位矩阵）。然后用以下的迭代公式计算矩阵序列${\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}}$和${\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}}$：

${\displaystyle Y_{k+1}={\frac {Y_{k}+Z_{k}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle Z_{k+1}={\frac {Z_{k}+Y_{k}^{-1}}{2}}}$

这样的两个序列将会收敛到两个矩阵${\displaystyle Y}$和${\displaystyle Z}$上。其中${\displaystyle Y}$将会是矩阵的平方根，而${\displaystyle Z}$将是${\displaystyle Y}$的逆矩阵。