秩 (群)

數學群論中,一個Grank(G),是G的各個生成集合中最小的,也就是

G有限生成群,則G的秩是非負整數。

群的秩這個群論概念,類似於向量空間的維數。事實上,如果Pp-群,那麼群P的秩,等於向量空間P/Φ(P)的維數,其中Φ(P)是P弗拉蒂尼子群

例子

  • 對非平凡群G,rank(G)=1當且僅當G循環群
  • 自由阿貝爾群,有
  • G是有限非阿貝爾單群,則rank(G) = 2。這是從有限單群分類得出的結果。
  • G有限生成群,Φ(G) ≤ GG的弗拉蒂尼子群(Φ(G)一定是G的正規子群,故此商群G/Φ(G)可定義),則rank(G) = rank(G/Φ(G))。[1]
  • 單關係元群r不是自由群F(x1,..., xn)的本原元,即r不在F(x1,..., xn)的某個自由基之內,則rank(G) = n[2][3]

參考

  1. D. J. S. Robinson. A course in the theory of groups, 2nd edn, Graduate Texts in Mathematics 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN 0-387-94461-3
  2. Wilhelm Magnus, Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen, Monatshefte für Mathematik, vol. 47(1939), pp. 307–313.
  3. Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Proposition 5.11, p. 107

參見

  • 阿貝爾群的秩
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