积分图

积分图是于1984年由富兰克林·克罗引入计算机图形学领域，在20年后用于维奥拉-琼斯目标检测框架。富兰克林在設計积分图時主要是為Mipmap設計，但积分图并没有在计算机图形学领域中被广泛使用，直至在20年后，积分图才因维奥拉-琼斯目标检测框架的使用而開始普遍起來。然而，从历史角度來看，富兰克林對多维度的概率分布函数研究的理念是众所周知的，即透過觀察、計算各自的累积分布函数，以计算出二维 （或N維）概率（面积的概率分布）。[5]

积分图的每一点（x, y）的值是原图中对应位置的左上角区域的所有值得和：[6] [7]

${\displaystyle I(x,y)=\sum _{\begin{smallmatrix}x'\leq x\\y'\leq y\end{smallmatrix}}i(x',y')}$

而且，积分图可以只遍历一次图像即可有效的计算出来，因为积分图每一点的（x, y）值是：

${\displaystyle I(x,y)=i(x,y)+I(x-1,y)+I(x,y-1)-I(x-1,y-1)\,}$

计算矩形阴影区域的值

一旦积分图计算完毕，对任意矩形区域的和的计算就可以在常数时间内完成。如右图中，阴影矩形区域的值：

${\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}A(x)<x'\leq C(x)\\A(y)<y'\leq C(y)\end{smallmatrix}}i(x',y')=I(C)+I(A)-I(B)-I(D).}$

这个方法可以自然的扩展到连续空间[8]。

这个方法也可以扩展到高维图像中[9]。如果該矩形的角是${\displaystyle x^{p}}$，而${\displaystyle p}$是${\displaystyle \{0,1\}^{d}}$的話，那麼矩形中包含圖像的值的總和就能以下列公式計算：

${\displaystyle \sum _{p\in \{0,1\}^{d}}(-1)^{d-\|p\|_{1}}I(x^{p})\,}$

其中，${\displaystyle I(x)}$是於${\displaystyle x}$的積分圖，而${\displaystyle d}$則是圖像尺寸。與表示法${\displaystyle x^{p}}$對應的例子有${\displaystyle d=2}$、${\displaystyle A=x^{(0,0)}}$、${\displaystyle B=x^{(1,0)}}$、${\displaystyle C=x^{(1,1)}}$和${\displaystyle D=x^{(0,1)}}$。以神經影像學作例子，當使用體素或具時間戳記的像素時，神經影像的圖像就會具有${\displaystyle d=3}$或${\displaystyle d=4}$的尺寸。[10]

關於积分图的讲座视频

• 介紹積分圖像的算法背後的入門理論 （页面存档备份，存于）
• 一個示範積分圖像算法的連續版本，取自胡弗拉姆示範項目 （页面存档备份，存于）