同构基本定理

給定一個群同態 ${\displaystyle f:G\to G'}$，根據群同態第一基本定理，我們可以把${\displaystyle G}$除以${\displaystyle G}$的核，使${\displaystyle f}$ 變成單射。

直觀來講，把一個群${\displaystyle G}$除以${\displaystyle G}$的子群${\displaystyle H}$相當於把${\displaystyle H}$裡的元素看成0(一元素）。把${\displaystyle f}$的核除掉後，我們使得${\displaystyle f(x)=0}$只在 ${\displaystyle x=0}$時才會成立，這是${\displaystyle f}$的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G'}$進行討論。

定理： 給定${\displaystyle G}$和${\displaystyle G'}$兩個群，和${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$群同態。則${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$是一個${\displaystyle G}$的正規子群。

證明： 記 ${\displaystyle \cdot }$ 為${\displaystyle G}$和${\displaystyle G'}$的運算符號，記${\displaystyle e}$和${\displaystyle e'}$他們的單位元，我們可以驗證${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 在共軛運算下封閉，即對於所有${\displaystyle x\in G}$、所有${\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f}$，有${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f}$。

我們有${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})}$。由於${\displaystyle h}$在${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$裡面，即${\displaystyle f(h)=e'}$，我們推論${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'}$。因此，${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}}$在${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$裡面，故${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$是${\displaystyle G}$的正規子群。

${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$是${\displaystyle G}$的正規子群的這個性質讓我們可以在商群${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}$上定義一個與${\displaystyle G}$的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$誘導出群同構${\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}$。

我們有以下的定理：

群同構第一定理 給定${\displaystyle G}$和${\displaystyle G'}$兩個群，${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$群同態，則${\displaystyle f}$誘導出一個從${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}$打到${\displaystyle f(G)}$的群同構。

證明： 記${\displaystyle H}$為${\displaystyle f}$的核。我們定義${\displaystyle {\hat {f}}}$為${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)}$.

• 函數${\displaystyle {\widehat {f}}}$定義良好，即${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)}$只依賴於${\displaystyle xH}$而與代表${\displaystyle x}$的選擇無關。理由是，若${\displaystyle y\in G}$是${\displaystyle xH}$的一個代表，即若${\displaystyle xH=yH}$，則${\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f}$，所以${\displaystyle f(x)=f(y)}$，從而${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)}$。
• 由商群運算的定義，${\displaystyle {\widehat {f}}}$是一個群同態。
• 群同態${\displaystyle {\widehat {f}}}$滿射：對於所有${\displaystyle y\in f(G)}$，存在${\displaystyle x\in G}$使得${\displaystyle f(x)=y}$，由此${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y}$。
• 群同態${\displaystyle {\widehat {f}}}$單射。理由是：考慮${\displaystyle {\widehat {f}}}$的核裡的任意元素${\displaystyle xH}$，則${\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)}$，即${\displaystyle x}$在${\displaystyle f}$的核${\displaystyle H}$裡面。又${\displaystyle xH=H}$是${\displaystyle G/H}$的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖

交換圖

群同構第二定理： 給定群 ${\displaystyle G}$ 、其正規子群 ${\displaystyle N}$ 、其子群 ${\displaystyle H}$ ，則 ${\displaystyle N\cap H}$ 是 ${\displaystyle H}$ 的正規子群，且我們有群同構如下： ${\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}$

證明：

• 必須先證明${\displaystyle HN}$确实是一个群，以及${\displaystyle N}$限定在${\displaystyle HN}$ 中亦是一個正規子群，才能討論商群 ${\displaystyle HN/N}$。

設 ${\displaystyle hn}$ 和 ${\displaystyle h'n'}$ 為 ${\displaystyle HN}$ 中的兩個元素。我們有 ${\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'}$ ，其中 ${\displaystyle hh'\in H}$, ${\displaystyle h'^{-1}nh'\in N}$ (因為 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle G}$ 中正規) 且 ${\displaystyle n'\in N}$，故 ${\displaystyle hnh'n'}$ 在 ${\displaystyle HN}$ 中，其證明了 ${\displaystyle HN}$ 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 ${\displaystyle N\subset HN\subset G}$ 的包含關係，並且 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle G}$ 中正規，所以也在 ${\displaystyle HN}$ 中正規。

• 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。

取 ${\displaystyle j:H\hookrightarrow HN}$單射群同態，定義為 ${\displaystyle j(h)=h}$ ， 取標準滿射 ${\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N}$ (值域是個群，因為 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle G}$ 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 ${\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N}$ 定義為 ${\displaystyle f(h)=hN}$。

• 群同態 ${\displaystyle f}$ 是滿射。

理由是，設 ${\displaystyle (hn)N\in HN/N}$ ，其中 ${\displaystyle h\in H}$ 且 ${\displaystyle n\in N}$ 。由於 ${\displaystyle n}$ 在 ${\displaystyle N}$ 裡面， ${\displaystyle hnN=hN}$ ，故${\displaystyle hnN=f(h)}$。

• ${\displaystyle f}$ 的核是 ${\displaystyle H\cap N}$ 。

理由是， ${\displaystyle f(h)=hN}$ 是 ${\displaystyle HN/N}$ 的單位元，即 ${\displaystyle N}$ 若且唯若， ${\displaystyle h}$ 在 ${\displaystyle N}$ 裡面。由於 ${\displaystyle h}$ 已經在 ${\displaystyle H}$ 裡面，所以證明這個相當於證明 ${\displaystyle h}$ 在 ${\displaystyle N\cap H}$ 裡面。

• 由群同構第一定理知 ${\displaystyle N\cap H}$ 是 ${\displaystyle H}$ 的正規子群，且其誘導出的映射 ${\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N}$ 是群同構。

如果我們弱化前提，假設 ${\displaystyle N}$ 的正規化子包含 ${\displaystyle H}$ (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理： 給定群 ${\displaystyle G}$ ， ${\displaystyle N}$ 和 ${\displaystyle M}$ 為 ${\displaystyle G}$ 的正規子群，滿足 ${\displaystyle M}$ 包含於 ${\displaystyle N}$ ，則 ${\displaystyle N/M}$ 是 ${\displaystyle G/M}$ 的正規子群，且有如下的群同構： ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$

證明： ${\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN}$ 為滿射，其核為 ${\displaystyle N/M}$

所以可由群同構第一定理得到 ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$

设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系${\displaystyle \Phi }$：a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类，并且A/${\displaystyle \Phi }$同构于f的像（B的子代数）。

设B是A的子代数，${\displaystyle \Phi }$是A上的同余类。令[B]${\displaystyle \Phi }$是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/${\displaystyle \Phi }$的一个子集；${\displaystyle \Phi _{B}}$是${\displaystyle \Phi }$限制在 B × B上的部分。那么[B]${\displaystyle \Phi }$是A/${\displaystyle \Phi }$的子代数结构，${\displaystyle \Phi _{B}}$是B上的同余类，并且[B]${\displaystyle \Phi }$同构于B/${\displaystyle \Phi _{B}}$。

设A是一个代数结构，${\displaystyle \Phi }$和${\displaystyle \Psi }$是A上的两个同余关系，${\displaystyle \Psi }$包含于${\displaystyle \Phi }$。则${\displaystyle \Phi }$定义了A/${\displaystyle \Psi }$上的一个同余类${\displaystyle \Theta }$：[a]~[b]当且仅当a与b关于 ${\displaystyle \Phi }$同余（[a]表示a所在的${\displaystyle \Psi }$-等价类），并且A/${\displaystyle \Phi }$同构于(A/${\displaystyle \Psi }$)/${\displaystyle \Theta }$。