相等

在數學的領域中，若兩個数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“ $=$ ”； $x=y$ 当且仅当 $x$ 和 $y$ 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如 $6-2=4$ ，即 $6-2$ 與 $4$ 是相等的。

注意，有些时候“ $A=B$ ”并不表示等式。例如， $T(n)=O(n^{2})$ 表示在数量级 $n^{2}$ 上渐进。因為这裡的符号“ $=$ ”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等于符号；实际上， $O(n^{2})=T(n)$ 是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

等价二元关系的表格

集合 $A$ 上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。实际上，这是 $A$ 上唯一满足所有这些性质的关系。去掉对反对称性的要求，就是等价关系。相应的，给定任意等价关系 $R$ ，可以构造商集 $A/R$ ，并且这个等价关系将‘下降为’ $A/R$ 上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。形式化這一說法，可以寫成

對任意

x

和 $y$ ，

x=y

當且僅當對任意謂詞

P

，

P(x)

當且僅當

P(y)

。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

對任意

x

和 $y$ ，若

x

等於 $y$ ，則

P(x)

當且僅當

P(y)

。

這條公理對任意單變量的謂詞 $P$ 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若 $x$ 和 $y$ 相等，則它們具有相同的性質。可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

對任意 $x$ ，

x

等於 $x$ 。

則若 $x$ 和 $y$ 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞 $P$ 是相同的。這裡謂詞 $P$ 為： $P(z)$ 當且僅當 $x=z$ 。由於 $P(x)$ 成立， $P(y)$ 必定也成立（相同的性質），所以 $x=y$ （' ' $P$ 的變量為 $y$ ）.

等于的一些基本性质

替代性

对任意量 $a$ 和 $b$ 和任意表达式 $F(x)$ ，若 $a=b$ ，则 $F(a)=F(b)$ （设等式两边都有意义）。在一阶逻辑中，不能量化像 $F$ 这样的表达式（它可能是个函数谓词）。一些例子：

对任意实数 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，则 $a+c=b+c$ （这里 $F(x)$ 为 $x+c$ ）
对任意实数 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，则 $a-c=b-c$ （这里 $F(x)$ 为 $x-c$ ）
对任意实数 $a,b,c$ ，若 $a=b$ ，则 $ac=bc$ （这里 $F(x)$ 为 $xc$ ）
对任意实数 $a,b,c$ ，若 $a=b$ 且 $c\neq 0$ ，则 $a/c=b/c$ （这里 $F(x)$ 为 $x/c$ ）

自反性

对任意量 $a$ ， $a=a$ 。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性

例子：如果 $a=b$ ，那么 $b=a$

传递性

例子：如果 $a=b$ ， $b=c$ ，那么 $a=c$

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史

「等于」符号或「 $=$ 」被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是 $\approx$ 或≒，不等于的符号是 $\neq$ 。

参见

等号

外部链接

关系符号的早期使用（英文）

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