等价关系

例如，设${\displaystyle A=\{1,2,\ldots ,8\}}$，定义${\displaystyle A}$上的关系${\displaystyle R}$如下：

${\displaystyle xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}}$

其中${\displaystyle x\equiv y{\pmod {3}}}$叫做${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$模3同餘，即${\displaystyle x}$除以3的餘数与${\displaystyle y}$除以3的餘数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证${\displaystyle R}$为${\displaystyle A}$上的等价关系。

并非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：

• 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大（${\displaystyle n\ngtr n}$）
• 沒有對稱性：如果${\displaystyle m>n}$，就肯定不能有${\displaystyle n>m}$

• 实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性，但不满足对称性。例如，7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系。