等比数列

如果一个等比数列的首项記作${\displaystyle a}$，公比記作${\displaystyle r}$，那么该等比数列第${\displaystyle n}$项${\displaystyle a_{n}}$的一般項为：

${\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}$

換句話說，任意一個等比数列${\displaystyle \{a_{n}\}}$都可以寫成

${\displaystyle \{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}}$

在一個等比數列中，給定任意兩相連項${\displaystyle a_{n+1}}$和${\displaystyle a_{n}}$（其中${\displaystyle a_{n}\neq 0}$），可知公比

${\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$

給定任意兩項${\displaystyle a_{m}}$和${\displaystyle a_{n}}$，則有公比

${\displaystyle r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}}$

這裡注意，若${\displaystyle m-n}$是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，${\displaystyle a_{1}\times a_{3}={a_{2}}^{2}}$。

更一般地說，有：

${\displaystyle a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}}$

證明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}}$

證畢。

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相邻两项的幾何平均：

${\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}$

此結果從上面直接可得。

如果有整數${\displaystyle m,n,p,q}$，使得 ${\displaystyle m+n=p+q}$，那么则有：

${\displaystyle a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}}$

證明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}}$

由此可將上面的性質一般化成：

${\displaystyle a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}}$

${\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}}$

其中${\displaystyle k}$是一個小於${\displaystyle n}$的正整數。

給定一個等比數列 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$，則有：

• ${\displaystyle \{b\cdot a_{n}\}}$ 是一個等比數列。
• ${\displaystyle \{{\frac {b}{a_{n}}}\}}$ 是一個等比數列。
• ${\displaystyle \{\log _{b}(a_{n})\}}$ 是一個等差數列。

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

${\displaystyle a_{n}=pq^{n}}$

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比${\displaystyle r=q}$，首項${\displaystyle a=pq}$。

一個等比數列的首${\displaystyle n}$項之和，稱為等比数列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作${\displaystyle S_{n}}$。

舉例來說，等比數列${\displaystyle \{1,2,4,8\}}$的和是${\displaystyle 1+2+4+8=15}$。

等比數列求和的公式如下：

${\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}$

其中${\displaystyle a}$為首項，${\displaystyle n}$為項數，${\displaystyle r}$為公比，且${\displaystyle r\neq 1}$。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：

${\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}}$ ……(1)

将两边同乘以公比 r，有：

${\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}}$ ……(2)

(1)式减去(2)式，有：

${\displaystyle (1-r)S_{n}=a-ar^{n}}$

当${\displaystyle r\neq 1}$时，整理後得證。

當${\displaystyle r=1}$時，可以发现：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}}$

综上所述，等比数列的求和公式为：

${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}}$

當${\displaystyle -1<r<1}$時，注意到

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0}$

因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為

${\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}$

由此可見，當${\displaystyle -1<r<1}$時，幾何級數會收斂到一個固定值。

一個等比數列的首 n 項之積，稱為等比数列積（product of geometric sequence），記作 P_n。

舉例來說，等比數列${\displaystyle \{1,2,4,8\}}$的積是${\displaystyle 1\times 2\times 4\times 8=64}$。

等比數列求積的公式如下：

${\displaystyle P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}}$

證明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}}$

第二步，公比r的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為${\displaystyle n-1}$。

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• 數列
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• 幾何級數
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• 等諧數列
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• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于）.