約束滿足問題

正式來說，約束滿足問題定義為一個三元組${\displaystyle \langle X,D,C\rangle }$，其中

${\displaystyle X=\{X_{1},...,X_{n}\}}$是變數的集合，

${\displaystyle D=\{D_{1},...,D_{n}\}}$是各個變數的定義域集合，而

${\displaystyle C=\{C_{1},...,C_{n}\}}$是限制條件的集合。

每個變數${\displaystyle X_{i}}$可以在非空的定義域${\displaystyle D_{i}}$中取出。每個限制條件（Constraint）${\displaystyle C_{j}\in C}$依序對應一對${\displaystyle \langle t_{j},R_{j}\rangle }$，其中${\displaystyle t_{j}\subset X}$是變數的${\displaystyle k}$元组，${\displaystyle R_{j}}$則是在定義域${\displaystyle D_{i}}$中，其對應到的子集合上得到的${\displaystyle k}$元组的關係。變數的定值（evaluation或assignment）是一個函數，其從變數的子集合映射到該變數子集合所對應到的定義域子集合中特定的值組成的集合，也就是

${\displaystyle f:X'\rightarrow V}$其中${\displaystyle X'=\{X_{p_{1}},X_{p_{2}},X_{p_{3}},...,X_{p_{k}}\}\in X,V=\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{k}\},v_{i}=f(X_{p_{i}})\in D_{p_{i}}}$。

如果${\displaystyle f(X_{p_{1}}),\ldots ,f(X_{p_{k}})\in R_{j}}$，則此定值${\displaystyle f}$滿足條件限制${\displaystyle \langle t_{j},R_{j}\rangle }$。

如果一個定值不違反任何的條件限制，我們說這個定值是無矛盾的（consistent）。 如果一個定值包含了所有的變數，我們說這個定值是完備的（complete）。 如果一個定值無矛盾而且完備的，我們說這個定值是一個解（solution），這樣的定值就是CSP的解。[1]

定義域有限的約束滿足問題通常利用搜索方法來解決。最常用的技術是回溯法（backtracking）、約束傳遞constraint propagation，以及局部搜索local search的改良。

回溯法是一種遞迴演算法，它保持部分變數的賦值。一開始，所有的變數都還沒被賦值。在每一個步驟中，先選取一個變數，並且將所有可能的值依次賦予該變數。對於每一個值，在限制條件下的局部賦值的無矛盾性（consistency）都進行檢查。在符合無矛盾（consistency）的情況下，就會遞迴地往下呼叫。當所有的值都試過，演算法則回溯上層。在這個基本回溯演算法中，無矛盾性（consistency）被定義為滿足所有的條件限制，且這些條件限制的變數已被賦值。若干回溯變數存在。回溯法提高了檢查無矛盾性的效率。回跳法可以使在某些在某些情況中，透過回溯”一個以上的變數“，來省去部分的搜尋。約束學習則藉由減少新的條件限制，來避免部分的搜尋。可預見性也常常在回溯法中應用，用來去預期選擇一個變數或值的影響，因此常常用來預先判定一個子問題什麼時候滿足或不滿足。約束傳遞（Constraint propagation）技術是用來修飾一個CSP的方法。更精確地說，是一種方法，用來增強一種形式的局部一致性，是一種條件牽連到一組變數或條件限制的一致性。約束傳播應用在各個領域。一來，它把問題轉化為一個等價但通常是最簡單的解決方法。二來，他可以用來驗證滿足或不滿足於問題。一般來說他不保證會發生，但是它總是會發生一些形式的約束傳遞（Constraint propagation）或某些種類的問題。最有名的慣用的局部一致性是弧協調性，超弧一致性，和路徑一致性。最流行的方法是AC-3約束傳播演算法，該演算法可以執行弧的一致性。

局部搜索方法是不完全滿足的演算法。人們可能找到解決問題的方法，但這方法可能令我們失望。其反覆更改變數來改進整個任務，而得以運作。在每一步，要更改少量變數的值，與整體目標數量的增加條件限制以滿足的任務。最小衝突演算法是局部搜索演算法和基於特定CSPs原則。在實踐中，局部搜索似乎工作當這些變化也受隨機選擇。整合搜索和局部搜索被開發了，導致混合演算法。

经典的造型约束满足问题定义了一个静态模型，呆板的约束。这个严格的模型的缺点是他很难容易的表现问题[4]。基于CSP定义的几种修改，提出使该模型广泛适应各种各样的问题。

• 约束满足
• 声明式编程
• 规划约束
• 分布式约束满足问题（DisCSP）

1. Stuart Jonathan Russell; Peter Norvig. . Prentice Hall. 2010: Chapter 6. ISBN 9780136042594.
2. Bodirsky, Manuel; Pinsker, Michael. . CoRR. 2010,. abs/1011.2894: 2894. Bibcode:2010arXiv1011.2894B. arXiv:1011.2894 .
3. Cai, Jin-Yi; Chen, Xi. . CoRR. 2011,. abs/1111.2384 [2012-04-08]. （原始内容存档于2017-01-17）.
4. Ian Miguel. . University of Edinburgh School of Informatics. [2014-05-04]. hdl:1842/326 doi:10.1.1.9.6733. （原始内容存档于2016-03-04） （英语）.
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• CSPTutorial

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• Constraintsarchive
• ForcedSatisfiableCSPBenchmarksofModelRB（页面存档备份，存于）
• Benchmarks--XMLrepresentationofCSPinstances
• DynamicFlexibleConstraintSatisfactionandItsApplicationtoAIPlanning，IanMiguel-slides.
• ConstraintPropagation-DissertationbyGuidoTackgivingagoodsurveyoftheoryandimplementationissues