索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理

令ƒ为定义在实数轴上的连续函数，a与b为实常数，满足a < 0 < b。则

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,}$

其中${\displaystyle {\mathcal {P}}}$表示柯西主值。

简单证明如下：

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$

注意到第一项 ${\displaystyle \varepsilon /(\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2}))}$ 为狄拉克δ函数之先趨函數，在此极限下趋近狄拉克δ函数。 因此第一项等于 ${\displaystyle \mp i\pi f(0)}$.

第二项，注意到因子在当 |x| >> ε时，${\displaystyle x^{2}/(x^{2}+\varepsilon ^{2})}$趋近于1；当|x| << ε时趋近于0并关于零对称。 因此极限下为柯西主值积分。

在量子力学和量子场论中，经常需要计算如下形式的积分：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\exp(-iEt)\,dt\,dE,}$

其中E为能量，t为时间。 上式对时间积分不收敛，因此一般需为t加入一个负的常系数，然后再令其趋于0。

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)\,dt\,dE}$

${\displaystyle =-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,}$

其中最后一步用到了该定理。

在等离子体物理中，推导朗道阻尼的过程中使用到该定理，从而揭示了波在无碰撞过程中亦存在阻尼现象。

• Weinberg, Steven. . Cambridge Univ. Press. 1995. ISBN 0-521-55001-7. Chapter 3.1.
• Merzbacher, Eugen. . Wiley, John & Sons, Inc. 1998. ISBN 0-471-88702-1. Appendix A, equation (A.19).