紧致性定理
应用
从这个定理可以得出，如果某个一阶句子对于特征值为零的所有域都成立，则存在着一个常量p，使得这个句子对特征值大于p的所有域都成立。这可以被看作为如下：假定S是要考虑的句子。那么它的否定~S，和域公理与句子的无限序列1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0, ...一起，不能被假定所满足。所以这些句子的有限子集是不可满足的，意味着S在有足够大特征值的这些域中成立。
从这个定理还得出，有一个无限模型的任何理论都有任意大基数的模型。所以，有着带有不可数多个自然数的皮亚诺算术有非标准模型。非标准分析是出现无限个自然数的另一个例子，是不能被任何公理化所排除的可能事物，也是紧致性定理的一个推论。
证明
紧致性定理可以使用哥德尔完备性定理来证明，它确立了一组句子是可满足的，当且仅当没有矛盾可以证明自它们。事实上，紧致性定理等价于哥得尔完备性定理，并且二者都等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理。因为证明总是有限的，所以只涉及有限多个给定句子，就得出了紧致性定理。
哥德尔最初就是以这种方式证明紧致性定理的，但是后来又找到了紧致性定理的一些“纯语义”证明，就是说提及“真理”但不提及“可证明性”的证明。这些证明倚赖于依仗选择公理的超乘积：
证明：固定一个一阶语言L，并设Σ为L-句子的搜集，使得所有L-句子的子搜集i ⊆ Σ都有模型。还设是这些结构的直接乘积，和I是Σ的有限子集的搜集。对于I中每个i设Ai := { j ∈ I : j ⊇ i}。所有这些集合Ai的家族形成一个滤子（filter），所以有一个超滤子（ultrafilter）U包含形如Ai的所有集合。
现在对于Σ中任何公式φ我们有：
- 集合A{φ}在U中
- 只要j ∈ A{φ}，则φ ∈ j，因此φ在中成立
- 带有φ在中成立的性质的所有j的集合是A{φ}的超集，因此也在U中
使用Łoś定理我们看到φ在超乘积中成立。所以这个超乘积满足Σ中所有的公式。
紧致性定理（版本2）
紧致性定理的定义
紧致性定理定义：
- 1）在一阶逻辑中，如果我们有一个公式集合（记作）并且是一个不满足式的公式集合，那么至少有一个有限个数元素的子集（记作）（）并且也是不满足式的集合
- 我们注意到：
- 2)（换一句话说），如果我们有一个公式集合（记作）并且是一个可满足式的公式集合，那么对于所有有限个数元素的子集（记作） () , 也是可满足式的集合
- 3)（换一句话说），前提假设我们有一个子句（Clause）集合（记作）S，并且S中的所有子句是封闭的（Clause Fermee，也就是说子句中不含有变量），如果S是不可满足式的子句集合，当且仅当S至少有一个子集合S'，S'是有限集合并且S'是不可满足的集合
- 我们注意到：
- 在3)中我们把公式集合转化成子句集合S，（根据定理：），我们说的可满足性和转化成的子句集合S的可满足性是等价的
紧致性定理的证明
我们对1)的证明如下： 在证明前，我们需要知道如下定义：
- a)完备性（Completude）定理的定义：前提假设我们有一个有限个数元素的子句集合（记作）S并且S中不含有变量（符号），如果S是不可满足的集合，那么S必定拥有一个驳斥（Refutation）
- b)驳斥（Refutation）的定义：一个子句集合S的驳斥是一个通过应用衍生方法产生的一系列子句并且最后的是一个空子句，我们叫做S拥有（或接受）一个驳斥，记作
- 我们注意到当S拥有一个驳斥时，那么很显然集合S是有限的，产生的子句也是有限的，这是因为我们不能再运用衍生规则产生其它新的子句
- c)衍生（Derivation）的定义：从一个子句集合S,通过应用解决规则（regle de resolution）或因式分解规则（regle de factorisation）产生得到的一系列子句叫做衍生
- d)正确性（Correction）定理的定义：前提S是一个不含变量符号的子句集合，如果子句C是子句集合S通过应用解决规则或因式分解规则所的到的子句，那么子句C是子句集合S的逻辑子序列（Consequence Logique），记作，也就是说集合S的所有模型（或称解释，指派）也是子句C的模型
- e)逻辑子序列（Consequence Logique）的定义：一个公式（或公式集合）是另一个公式（或公式集合）的逻辑子序列，当且仅当所有的模型（或称解释，指派）是的模型，记做
- 证明：
- 根据完备性定理我们可以知道子句集合S拥有一个驳斥，那么对应的集合也拥有驳斥，那么这两个集合都是有限的，所以一个S的子集合S'在衍生驳斥中也是有限的，我们根据正确性定理可以知道，通过应用衍生规则,S'也是不可满足的，那么很显然存在对应于S'的公式集合（）来说，由于含有以子句形式的集合S',那么集合必定是不可满足的
