結式

結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 $F$ 上兩個多項式 $P,Q$ ，設其首項係數分別為 $a,b$ ，則其結式定義為

\mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,

其中 ${\bar {F}}$ 為 $F$ 的給定代數閉包。由此定義的結式是 $F$ 的元素，而与代數閉包的選取无关。

計算方式

結式亦可理解為西爾維斯特矩陣的行列式。
為簡單起見，假設 $P,Q$ 首項係數為一；若 $Q$ 是可分多項式（換言之：無重根），則定義可改寫為

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,

此式僅依賴於

Q

除以

P

的餘式。

承上，可透過輾轉相除法求得結式。

性質

$\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
$\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
若 $P_{1}=P+R*Q$ 且 $\deg P_{1}=\deg P$ ，那么 $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)$ 。在論及計算方式時已利用此性質。
若 $X,Y,P,Q$ 同次， $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$ ，則有

\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)

$\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)$ ，其中 $P_{-}(z):=P(-z)$ 。

應用

一多項式 $P$ 與其導數 $P'$ 的結式可由判別式 $D(P)$ 表示：設 $P$ 的首項係數為 $a$ ，則

D(P)=(-1)^{\frac {\deg P(\deg P-1)}{2}}a^{-1}\mathrm {res} (P,P')

。

在代數幾何中，可用結式計算兩條平面代數曲線之交。
在域論中，結式可用來計算範數。

外部連結

Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. （页面存档备份，存于）

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