总谐波失真

針對輸入及輸出的系統（例如音響放大器），最單純的假設是传递函数為线性时不变的理想系統，此時輸出信號的大小及相位可能和輸入信號不同，但其頻率不變。

若訊號通過的是非線性、非理想的系統，輸出除了原有的頻率外，會出現其他的諧波頻率，而总谐波失真就是描述這些谐波成份比例的工具。

若原始弦波信號的「乾淨程度」（也就是原始頻率能量相對諧波頻率能量的比例），其量測一般會定義為谐波頻率的均方根振幅，除以基本頻率（第一諧波）振幅的比例[1][2][3][4][5][6][7][8]

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} \,=\,{\frac {\sqrt {V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+\cdots }}{V_{1}}}}$

其中V_n是n次諧波的RMS電壓，而n = 1 即為基本頻率。

若諧波RMS電壓大於基頻電壓時，THD有可能超過100%。

實務上，THD_F常用在音響失真量的規格中（THD百分比）。不過THD不是標準化的規格，不同製造商的結果也不容易互相比較。因為量測的是個別的諧波振幅，因此需要製造商揭露其測試信號的頻率範圍、準位及增益條件，以及量測的信號數量。有可能是用掃頻的方式量測20–20 kHz的頻段。

总谐波失真的計算是在特定條件下，量測設備的輸出。总谐波失真一般會用百分比或是分貝，以基頻為準，描述谐波所佔的比例。

另外一種算法是在分母考慮基頻以及諧波的成分，不過較不鼓勵使用此定義[3][9][10]：

${\displaystyle \mathrm {THD_{R}} \,=\,{\frac {\sqrt {V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+V_{4}^{2}+\cdots }}{\sqrt {V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2}+\cdots }}}\,=\,{\frac {\mathrm {THD_{F}} }{\sqrt {1+\mathrm {THD} _{\mathrm {F} }^{2}}}}}$

這二種算法可以用THD_F（分母為基頻）及THD_R（分母為均方根值）來識別[11][12]。THD_R不會超過100%。若是諧波成份不高，這二種算法的差異很小，可以省略，例如THD_F為10%的信號，其THD_R也很接近，為9.95%。不過若是諧波成份很高，兩者差異就很大，例如THD_F為266%的信號，其THD_R為94%[3]。純方波有無限次的諧波，其THD_F為48.3%[1][13][14]，而THD_R為43.5%[15][16]。

有些文獻會用「失真因素」來作為THD_R的同義詞[17]，不過也有些會用來表示THD_F[18][19]。

THD+N代表总谐波失真再加上雜訊。相較於THD，此量測比較容易在不同的設備之間比較。一般是輸入正弦曲線，將輸出經過带阻滤波器，再比較輸出信號本身和沒有弦波成份輸出信號之間的比例[20]：

${\displaystyle \mathrm {THD\!\!+\!\!N} ={\frac {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\text{harmonics}}+{\text{noise}}}{\text{fundamental}}}}$

THD+N類似THD，都是均方根值振幅的比值[6][21]，也可以用THD_F（分母是計算後的基頻振幅）或THD_R（以總信號為分母）計算，後者比較常用。例如，音響精密量測會用THD_R[22]。

有意義的量測資訊需要包括量測的带宽。量測除了谐波失真外，也會包括接地迴路的電源線噪音、高頻干擾、高頻和基頻之間交调失真等雜訊來源。若是針對心理聲學的量測，會配合像A加權或ITU-R BS.468的加權曲線，會強調人耳可以聽到的聲音，讓相關的分析更加準確。

針對相同的輸入頻率及振幅，THD+N是SINAD的倒數，前提是二個量測都是在相同的帶寛下進行。

波形相對弦波的扭曲程度可以用THD分析儀，將信號用傅里叶分析分解成基頻及諧波成份。並且計算各諧波相對於基頻的比例。或是用带阻滤波器濾掉基頻，再量測過濾後的信號，即為各諧波成份的加總。

若有弦波產生器，可以產生固有失真低的弦波，可以以此為輸入送到放大設備中，再量測輸出信號各諧波的分量，也可以計算总谐波失真。

有電子設備可以同時產生弦波並且量測失真，不過通用的電腦配合声卡，就可以用特定的軟體進行諧波分析。可以用不同的軟體來產生弦波，不過其固有失真太高，不適合量測低失真的放大機。

對於許多常見的信號，可以找到其总谐波失真的解析解[1]，例如方波的THD_F 為

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} \,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{8}}-1\,}}\approx \,0.483\,=\,48.3\%}$

锯齿波的THD_F則是

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} \,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{6}}-1\,}}\approx \,0.803\,=\,80.3\%}$

對稱的三角波THD_F為

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} \,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{4}}{96}}-1\,}}\approx \,0.121\,=\,12.1\%}$

占空比μ的方波脈波，其THD_F為

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} \,(\mu )={\sqrt {{\frac {\mu (1-\mu )\pi ^{2}\,}{2\sin ^{2}\pi \mu }}-1\;}}\,,\qquad 0<\mu <1}$

若方波脈波對稱（μ=0.5），THD_F有最小值（≈0.483），也就是純方波的THD_F[1]。將訊號經過過適當的濾波可以使其总谐波失真大幅下降。例如方波若用二階巴特沃斯滤波器濾波（截止頻率等於基頻），其THD_F可降到5.3%，若用四階巴特沃斯滤波器濾波，THD_F為0.6%[1]。不過若是複雜的信號或是複雜的濾波器，要找解析解並不容易，要計算其結果也很不容易。例如锯齿波用一階巴特沃斯滤波器濾波後，其THD_F為

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} \,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}-\pi \coth \pi \,}}\,\approx \,0.370\,=\,37.0\%}$

若用二階巴特沃斯滤波器濾波後，會得到更複雜的式子[1]

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} \,={\sqrt {\pi \,{\frac {\;\cot {\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\cdot \coth ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\cot ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\cdot \coth {\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\cot {\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\coth {\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\;}{{\sqrt {2\,}}\left(\!\cot ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}+\coth ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\!\right)}}\,+\,{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}\,-\,1\;}}\;\approx \;0.181\,=\,18.1\%}$

而脈波用p階巴特沃斯滤波器濾波後的解析解更加複雜，式子如下

${\displaystyle \mathrm {THD_{F}} \,(\mu ,p)=\csc \pi \mu \,\cdot \!{\sqrt {\mu (1-\mu )\pi ^{2}-\,\sin ^{2}\!\pi \mu \,-\,{\frac {\,\pi }{2}}\sum _{s=1}^{2p}{\frac {\cot \pi z_{s}}{z_{s}^{2}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,+\,{\frac {\,\pi }{2}}\,\mathrm {Re} \sum _{s=1}^{2p}{\frac {e^{i\pi z_{s}(2\mu -1)}}{z_{s}^{2}\sin \pi z_{s}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,}}}$

其中μ為占空比, 0<μ<1，而且

${\displaystyle z_{l}\equiv \exp {\frac {i\pi (2l-1)}{2p}}\,,\qquad l=1,2,\ldots ,2p}$

[1]中有更多的細節說明。

• 音響系統測量
• 信噪比
• 音色

• Explanation of THD measurements
• Rane audio's definition of both THD and THD+N
• Conversion: Distortion attenuation in dB to distortion factor THD in % （页面存档备份，存于）