线性组合

${\displaystyle S}$為一向量空間${\displaystyle V}$（附於體${\displaystyle F}$）的子集合。

如果存在有限多個向量屬於${\displaystyle S}$，和對應的純量${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}}$屬於${\displaystyle F}$，使得${\displaystyle v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}}$，則稱${\displaystyle v}$是${\displaystyle S}$的線性組合。

規定：${\displaystyle 0}$向量是空集合的線性組合。

S 為域 F 上向量空間 V 的子集合。

所有 S 的有限線性組合構成的集合，稱為 S 所生成的空間，記作 span(S)。

任何 S 所生成的空間必有以下的性質：

1. 是一個 V 的子空間（所以包含0向量）

2. 幾何上是直的，沒有彎曲（即，任兩個 span(S) 上的點連線延伸，所經過的點必也在 span(S) 上）

对于一个向量集 S =｛v₁,...,v_n｝, 若向量空间中的单个向量可以写作两个不同的线性组合，

${\displaystyle v=\sum a_{i}v_{i}=\sum b_{i}v_{i}{\text{ where }}(a_{i})\neq (b_{i}).}$

另一种表述方式是，如果将它们相减 (${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$) ，得到一个纯量不全等于零的线性组合，而它的值为零：

${\displaystyle 0=\sum c_{i}v_{i}.}$

那么v₁,...,v_n 称为“线性相关”；否则它们为线性无关。

若S是线性无关，而S的生成空间等于V，那么S是V的基。

仿射组合，锥组合和凸组合对线性组合的系数有一定的限制。

组合的种类	系数的限制	集合名	样板空间
线性组合	无限制	向量子空间	${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$
仿射组合	${\displaystyle \sum a_{i}=1}$	仿射子空间	仿射超平面
锥组合	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$	凸锥	象限或八分圆
凸组合	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$ and ${\displaystyle \sum a_{i}=1}$	凸集	单纯形

因为这些组合的限制更加严格，所以在这些运算之下的闭合子集也更多。因此，仿射子集，凸锥，和凸集都是向量子空间的一般化形式。所有向量子空间都是仿射子空间，凸锥，也是凸集，但凸集不一定是向量子空间，仿射子空间，或凸锥。

这些概念的产生是由于对于一些特定的数学对象，人们可以采用某些线性组合，但并非任何线性组合：例如，概率分布在凸组合下是闭合的，并且它们形成一个凸集；但在锥组合，仿射组合，或线性组合下不是闭合的。正测度在锥组合下是闭合的，但在仿射或线性组合下不是。因此，我们将带正负符号的测度定义为它的线性闭包。

线性和仿射组合可以在任何域或环上定义，但锥组合和凸组合需要“正数”的概念，因此只能在有序域或有序环上定义，最常见的例子是实数。

如果仅允许乘以标量而不允许相加，则我们得到一个（不一定是凸的）圆锥；通常来说，定义中只允许乘以正标量。

所有这些概念通常都定义为环境向量空间的子集，而不是独立地由公理定义。仿射空间除外，因为仿射空间也可以看作“没有原点的向量空间”。

• 凸组合
• 仿射组合：系数之和为1的线性组合