罗德里格公式

令${\displaystyle \{P_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$為一正交多項式序列，並滿足以下條件：

$${\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},}$$

其中${\displaystyle w(x)}$ 為權函數，${\displaystyle K_{n}}$為與${\displaystyle n}$有關之常數，${\displaystyle \delta _{m,n}}$則是克羅內克δ函數。如果權函數${\displaystyle w(x)}$滿足以下微分方程（又稱Pearson微分方程）：

$${\displaystyle {\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}$$

其中${\displaystyle A(x)}$ 為次數最高為一的多項式，${\displaystyle B(x)}$為次數最高為二的多項式；且以下極限成立：

$${\displaystyle \lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0,}$$

那麼我們可以證明${\displaystyle P_{n}(x)}$滿足以下遞迴關係式

$${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[B(x)^{n}w(x)\right],}$$

其中${\displaystyle c_{n}}$為常數。此關係式稱為「罗形公式」或是簡稱為「罗德里格公式」[1]

罗形公式最常見的應用為勒壤得多項式、拉蓋爾多項式和埃爾米特多項式。

對勒壤得多項式${\displaystyle P_{n}}$，罗德里格描述他的公式如下：

$${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}$$

拉蓋爾多項式通常被記為L₀, L₁, ⋯⋯，其罗形公式可被寫為：

$${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$

埃爾米特多項式的罗德里格公式則為：

$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

其他從史特姆-萊歐維爾方程所得之正交函數序列也有類似的公式，這些公式也被稱為罗德里格公式（或是罗形公式），特別是所得函數為多項式時。

• Askey, Richard, , Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (编), , History of mathematics 28, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 105–118, 2005, ISBN 978-0-8218-3860-0
• 艾沃里, 詹姆斯, , Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society), 1824, 114: 85–150, JSTOR 107707, doi:10.1098/rstl.1824.0008 
• 雅可比, C. G. J., , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1827, 2: 223–226 [2022-12-29], ISSN 0075-4102, S2CID 120291793, doi:10.1515/crll.1827.2.223, （原始内容存档于2022-12-29） （German） 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, , （英语）
• 罗德里格, 欧林, , Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris), 1816, 3 (3): 361–385