群概形

在代數幾何中，一個概形${\displaystyle S}$上的群概形${\displaystyle G}$是範疇${\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}$中的群對象。藉由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃：

• 以乘法、單位元與逆元定義：存在${\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}$中的態射
  • 乘法：${\displaystyle m:G\times _{S}G\rightarrow G}$
  • 單位元：${\displaystyle e:S\rightarrow G}$
  • 逆元：${\displaystyle i:G\rightarrow G}$

並滿足結合律等等群的性質。

• 以函子性定義：點函子${\displaystyle h_{G}:\mathrm {Sch} _{S}\rightarrow \mathrm {Set} }$透過遺忘函子${\displaystyle \mathrm {Group} \rightarrow \mathrm {Set} }$分解。。

換言之：對於任意的${\displaystyle S}$-概形${\displaystyle T}$，${\displaystyle G(T)}$構成一個群；而且對任意${\displaystyle S}$-態射${\displaystyle T'\rightarrow T}$，誘導映射${\displaystyle G(T)\rightarrow G(T')}$都是群同態。

• 代數群：設${\displaystyle k}$為域，${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$上的連通、光滑群概形稱作${\displaystyle k}$上的代數群。

• 李代數：群概形${\displaystyle G}$自然地作用在它的全體向量場上。${\displaystyle G}$的全體左不變向量場稱作${\displaystyle G}$的李代數，記為${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$；它是${\displaystyle S}$上的層。

• 交換環譜${\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}$的群概形結構一一對應到${\displaystyle A}$的Hopf代數結構。
• 阿貝爾簇：即一個域${\displaystyle k}$上的真（proper）代數群，它們必然是可交換的。
• 線性代數群：即${\displaystyle GL(n)}$中的閉子群。仿射代數群都是線性代數群，它們在表示理論及數論中佔有根本地位。Chevalley定理斷言：若${\displaystyle k}$代數封閉，則對所有代數群${\displaystyle G}$都存在短正合列${\displaystyle 1\rightarrow H\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 1}$，其中${\displaystyle H}$是線性代數群而${\displaystyle A}$是阿貝爾簇。在此意義下，所有代數群都是由阿貝爾簇與線性代數群建構而來。
• 設${\displaystyle \mathrm {char} (k)=p>0}$，並考慮${\displaystyle k[T]/T^{p^{r}},k[T,T^{-1}]/(T^{p^{r}}-1)}$的譜。這些群在拓樸上只有一個點，但其結構層帶有冪零元素。這些子群在代數群的研究中相當常見，同時也是理解${\displaystyle \mathrm {char} (k)>0}$時的代數群之重要關鍵。

• A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
• M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I（1970）, PA Masson
• D. Mumford, Abelian Varieties（1970）, Oxford Univ. Press