耦合 (概率)

考察两个随机变量${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$，分别具有连续累积分布函数${\displaystyle F_{X}}$和${\displaystyle F_{Y}}$。通过分别在两个随机变量上应用概率积分转换，得到${\displaystyle X'=F_{X}(X)}$ 和${\displaystyle Y'=F_{Y}(Y)}$。因此${\displaystyle X'}$和${\displaystyle Y'}$都是具有连续均匀分布的变量，相关性通常取决于${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是否是相关（自然，如果${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是不相关的，那么${\displaystyle X'}$和${\displaystyle Y'}$也是不相关的）。因为这个转换是可逆的，可以定义${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$之间的相关性等于${\displaystyle X'}$和${\displaystyle Y'}$之间的相关性。因为${\displaystyle X'}$和${\displaystyle Y'}$是均匀分布的随机变量，所以问题被简化为定义一个在两个均匀分布之上的二项分布，这就是关联结构。所以，这一基本思想就是，通过把边缘变量转化为均匀分布变量而不再需要考察很多不同的边缘分布以简化问题，然后再把相关性定义为一个在均匀分布之上的联合分布。

一个 关联结构是一个定义在${\displaystyle n}$维单位立方体${\displaystyle [0,1]^{n}}$上的多元联合分布，其每个边缘分布都是在${\displaystyle [0,1]}$区间上的均匀分布。

特别的，${\displaystyle C:[0,1]^{n}\to [0,1]}$是一个n维关联结构，有

${\displaystyle C\left(\mathbf {u} \right)=0}$当${\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}}$有至少一个分量为${\displaystyle 0;}$

${\displaystyle C\left(\mathbf {u} \right)=u_{i}}$当${\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}}$所有分量为${\displaystyle 1}$除了第i个分量等于${\displaystyle u_{i};}$

${\displaystyle C\left(\mathbf {u} \right)}$是n维递增的，也即，有每个hyperrectangle ${\displaystyle B=\times _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n};}$

${\displaystyle V_{C}\left(B\right):=\sum _{\mathbf {z} \in \times _{i=1}^{n}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0;}$

其中${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\operatorname {card} \{k\mid z_{k}=x_{k}\}}$。${\displaystyle V_{C}\left(B\right)}$所谓的${\displaystyle B}$的C-体积（volume）。

由Sklar提出的这条定理[1]是大多数关联结构的应用的基础。Sklar定理指出，一个给定的${\displaystyle p}$个变量的联合分布函数${\displaystyle H}$，${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots ,F_{p}}$为其边缘分布函数，必存在这样一个关联结构${\displaystyle C}$使${\displaystyle H=C(F_{1},F_{2},F_{3},\ldots ,F_{p})}$

以二项分布为例，Sklar定理应用如下。对任一二项分布函数${\displaystyle H(x,y)}$，令${\displaystyle F(x)=H(x,\infty )}$ 而${\displaystyle G(y)=H(\infty ,y)}$为其单变量边缘概率分布函数。那么存在关联结构${\displaystyle C}$以使

${\displaystyle H(x,y)=C(F(x),G(y))\,}$

（此处已知分布${\displaystyle C}$和它的累积分布函数）。此外，如果边缘分布${\displaystyle F(x)}$ 和${\displaystyle G(y)}$连续，那么关联结构函数${\displaystyle C}$是唯一的。否则，关联结构${\displaystyle C}$在边缘分布的值域上是唯一确定的。

Graphs of the Fréchet–Hoeffding copula limits and of the independence copula (in the middle).

最小（反单调）关联结构：是所有关联结构的下边界。仅在二项分布中，变量间表现为完全负相关。

${\displaystyle W(u,v)=\max(0,u+v-1).\,}$

对n-元关联结构，下边界为

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n}):=\max \left\{1-n+\sum \limits _{i=1}^{n}{u_{i}},0\right\}\leq C(u_{1},\ldots ,u_{n}).}$

最大 （共单调 ） 关联结构：是所有关联结构的上边界。其在二项分布中，变量间表现为完全正相关：

${\displaystyle M(u,v)=\min(u,v).\,}$

对n-元关联结构，上边界为

${\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq \min _{j\in \{1,\ldots ,n\}}u_{j}=:M(u_{1},\ldots ,u_{n}).}$

结论：对所有关联结构C（u, v）,

${\displaystyle W(u,v)\leq C(u,v)\leq M(u,v).}$

对于多元关联的情况为

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq C(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq M(u_{1},\ldots ,u_{n}).}$