自治系统 (数学)

形式上来说，一个自治系统是一个常微分方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$

其中 x 在n-维欧几里得空间中取值，而 t 是自变量，一般表示时间。

注意到自治系统是一般的常微分方程组中的一个特例。常微分方程的一般形式为：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)}$

物理上来说，这表示空间中一点的性质不仅取决于它的位置，还取决于时间：在不同的时间，经过此一点的质点或粒子会受到不同的影响。

对于一个自治系统，任意初值问题：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,\mathrm {,} \quad x(t_{0})=y_{0}}$

都等价于

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,\mathrm {,} \quad x(0)=y_{1}}$

其中的 y₁ 是一个可以由 y₀ 确定的值。

• 时不变系统
• 连续动力系统
• 本迪克森-杜拉克定理
• 向量场

• 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社。