自然對數

歐拉定義自然對數為序列的極限：

${\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).}$

${\displaystyle \ln(a)}$正式定義為積分，

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!}$

這可以通過將定義了${\displaystyle \ln(ab)}$的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元${\displaystyle x=ta}$來證實:

${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)}$

${\displaystyle =\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).}$

冪公式${\displaystyle \ln(t^{r})=r\ln(t)}$可如下推出:

${\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{u}}\,du=r\ln(t).}$

第二個等式使用了換元${\displaystyle u=x^{\frac {1}{r}}}$。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

${\displaystyle \ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).}$

• ${\displaystyle \ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,}$
• ${\displaystyle \operatorname {ln} (-1)=i\pi \,}$

(參見複數對數)

• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,}$

證明
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)-\ln 1}{h}}={\frac {d}{dx}}\ln x{\Bigg |}_{x=1}=1}$

自然對數的圖像和它在${\displaystyle x=1.5}$處的切線。

${\displaystyle \ln(1+x)}$的泰勒多項式只在${\displaystyle -1<x\leq 1}$範圍內有逐步精確的近似。

自然對數的導數為

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,}$

證明一 （微積分第一基本定理）:${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}}$

證明二: 按此影片 （页面存档备份，存于）

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad }$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}}$

设 ${\displaystyle u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h}$

${\displaystyle {\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{ux}}}$

${\displaystyle =\lim _{u\to 0}\ln \left[(1+u)^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{u}}}$

设 ${\displaystyle n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]}$

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln e}$

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}}$

用自然對數定義的更一般的對數函數，${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}}$，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為[13][14]：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.}$

根據鏈式法則，以${\displaystyle f(x)}$為參數的自然對數的導數為

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$

右手端的商叫做${\displaystyle f}$的對數導數，通過${\displaystyle \ln(f(x))}$的導數的方法計算${\displaystyle f'(x)}$叫做對數微分[15]。

自然對數的導數性質導致了${\displaystyle \ln(1+x)}$在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }$

對於所有${\displaystyle \left|x\right|\leq 1,}$ 但不包括${\displaystyle x=-1.}$

把${\displaystyle x-1}$代入${\displaystyle x}$中，可得到${\displaystyle \ln(x)}$自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何${\displaystyle x}$有效的如下級數:

${\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots \,.}$

這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到${\displaystyle x \over {x-1}}$是自身的逆函數，所以要生成特定數${\displaystyle y}$的自然對數，簡單把${\displaystyle x \over {x-1}}$代入${\displaystyle x}$中。

${\displaystyle \ln {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}\left({x-1 \over x}\right)^{n}=\left({x-1 \over x}\right)+{1 \over 2}\left({x-1 \over x}\right)^{2}+{1 \over 3}\left({x-1 \over x}\right)^{3}+\cdots \,}$

對於${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq {\frac {1}{2}}\,.}$

自然數的倒數的總和

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當${\displaystyle n}$趨於無窮的時候，差

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$

收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。[16]

自然對數通過分部積分法積分:

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$

假設:

${\displaystyle u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$

${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x\,}$

所以:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$

自然對數可以簡化形如${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$的函數的積分：${\displaystyle g(x)}$的一個原函數給出為${\displaystyle \ln(\left\vert f(x)\right\vert )}$。這是基於鏈式法則和如下事實:

${\displaystyle \ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.}$

換句話說，

${\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}$

且

${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$

在直角雙曲線(方程${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角${\displaystyle u}$的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中${\displaystyle \cosh }$和${\displaystyle \sinh }$的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$倍。

射線出原點交單位雙曲線${\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$於點${\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$，這裡的${\displaystyle \scriptstyle a}$是射線、雙曲線和${\displaystyle \scriptstyle x}$軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數[17]，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積[18]。對數函數是在直角雙曲線${\displaystyle xy=1}$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線${\displaystyle y=x}$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角${\displaystyle u}$，在漸近線即x或y軸上需要有的${\displaystyle x}$或${\displaystyle y}$的值。顯見這裡的底邊是${\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$，垂線是${\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• ${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$
• ${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線${\displaystyle xy=1}$下雙曲角的${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$。

儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}}$

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為${\displaystyle 2=1.25^{3}\times 1.024}$，2的自然對數可以計算為:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}}$

進而，因為${\displaystyle 10=1.25^{10}\times 1.024^{3}}$，10的自然對數可以計算為:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}}$

指數函數可以擴展為對任何複數${\displaystyle x}$得出複數值為${\displaystyle e^{x}}$的函數，只需要簡單使用${\displaystyle x}$為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在${\displaystyle x}$使得${\displaystyle e^{x}=0}$；並且有著${\displaystyle e^{2\pi i}=1=e^{0}}$。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，${\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\pi i}}$，對於所有複數${\displaystyle z}$和整數${\displaystyle n}$。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加${\displaystyle 2\pi i}$的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，${\displaystyle \log i={\frac {1}{2}}\pi i}$或${\displaystyle {\frac {5}{2}}\pi i}$或${\displaystyle -{\frac {3}{2}}\pi i}$等等；儘管${\displaystyle i^{4}=1}$，${\displaystyle 4\log =i}$不能定義為${\displaystyle 2\pi i}$或${\displaystyle 10\pi i}$或${\displaystyle -6\pi i}$，以此類推。

• 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖
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  z = Re(ln(x+iy))
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  前三圖的疊加

自然指数有应用於表达放射衰变（放射性）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目的微分方程${\displaystyle N}$随时间变化率${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-pN}$，常数${\displaystyle p}$为原子衰变概率，积分得${\displaystyle N(t)=N(0)\exp(-pt)}$。

• John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
• Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
• Donald Sarason, Complex function theory （页面存档备份，存于）, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.