舒尔分解

在线性代数中，舒尔分解或舒尔上三角化是一种矩阵分解方法，得名于德国数学家伊沙海·舒爾。

定理的陈述

舒尔分解定理表明，如果A是n阶的复方阵，则存在n阶么正矩阵Q，n阶上三角矩阵U，使得：[1][2][3]

A=QUQ^{H}

即任何一个n阶复方阵A酉相似于一个n阶上三角矩阵U。因为A，U相似，所以两者有相同的特征值，且相同特征值的代数重数也相同。又因U是上三角矩阵，所以U的对角元素实际上是A的所有特征值。

该定理表明，存在Cⁿ的一个线性子空间序列{0} = V₀ ⊂ V₁ ⊂ ... ⊂ V_n = Cⁿ，使得其中的每一个都是A（看成线性变换）的不变子空间。且存在Cⁿ（指定标准内积）的一组单位酉正交基，使得前i个基向量张成上述序列中第i个子空间。[1]

把矩阵A看成是有限维酉空间Cⁿ上的线性变换，它有特征值λ，所对应的特征子空间为V_λ，令V_λ^⊥ 为它的正交补空间。分别取两个空间的一组单位正交基(Z₁，Z₂)，它们构成原空间的一组单位正交基，则线性变换A在这组基下的矩阵表出为：

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}

而A₂₂又可以看成是V_λ^⊥上的线性变换，又可以重复上述过程。（本质上，A₂₂是A在商空间Cⁿ\V_λ上引入的线性变换。）所以最终可以找到Cⁿ的一组基，使得A在这组基下的矩阵为上三角矩阵。[1][2]

上述证明过程也可以用矩阵的语言复述。对n阶矩阵采用数学归纳法:

k=1，显然命题成立。
若任何一个n-1阶矩阵酉正交相似于一个上三角矩阵。则对一个n阶矩阵，它有特征值λ₁，对应特征向量β。将β扩充为Cⁿ的一组单位正交基，并排列成矩阵V₁，则有：

V_{1}^{-1}AV_{1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}

根据归纳假设，存在n-1阶酉矩阵V₂和上三角矩阵T，使得：

V_{2}^{-1}A_{1}V_{2}=T

所以有：

{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&T\end{bmatrix}}

即：

(V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}})^{-1}A(V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}})={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&T\end{bmatrix}}

令

U=V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}

，显然它是酉矩阵。由归纳假设，原命题成立。[4][3]

给定矩阵的舒尔分解可以用QR计算法求出。换言之，为求解矩阵的舒尔分解，并没有必要求解其特征多项式的根。另一方面，通过求解一个多项式的伴随矩阵的舒尔分解，可以计算出它的所有根。类似地，通过舒尔分解，也可以计算给定矩阵的特征值。[5]

给定矩阵A和B，则存在酉矩阵Q、Z，上三角矩阵S、T，使得 $A=QSZ^{-1}$ 和 $B=QTZ^{-1}$ 同时成立。这被称为广义舒尔分解，有时也被称为QZ分解。[2]

广义特征值问题 $det(A-\lambda B)=0$ 的解是S、T对应的对角元的比值，即 $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$ 。[2]

Horn, R.A. and Johnson, C.R. . Cambridge University Press. 1985. ISBN 0-521-38632-2.(Section 2.3 and further at p. 79)
Golub, G.H. and Van Loan, C.F. 3rd. Johns Hopkins University Press. 1996. ISBN 0-8018-5414-8.(Section 7.7 at p. 313)
《矩阵论》：第四章.第五节.Schur定理与正规矩阵
丘维声. . 清华大学出版社. 2005: p352. ISBN 978-7-302-10975-4.
Anderson, E.; Bai, Z.; Bischof, C.; Blackford, S.; Demmel, J.; Dongarra, J.; Du Croz, J.; Greenbaum, A.; Hammarling, S.; McKenney, A.; Sorensen, D. Third. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1999. ISBN 0-89871-447-8.

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