色散关系

對真空中的电磁波而言，角頻率與波數呈正比：

${\displaystyle \omega =ck\,}$。

這是「線性」的色散關係。在此情形下，相速度與群速度乃是相同的：

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c}$；

兩者皆為c，真空中的光速，為與頻率無關的常數。

自由空間中，日常生活常見物體其動能與動量之間的色散關係圖。

粒子的總能量、動量與質量透過如下相對論關係連結：

${\displaystyle E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}\,}$  [1]

其中${\displaystyle m}$是靜質量。

當靜質量m為零時，比如光子的例子：

${\displaystyle E=pc\,}$。

又靜質量不為零的粒子，當其接近光速時，pc項遠大於mc²項，因此關係式可趨近於E = pc。其在非相對論極限，也就是速度遠小於光速c的情形，可趨近於如下關係式：

${\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}}$

此情形下，${\displaystyle mc^{2}}$是常數，而${\displaystyle p^{2}/2m}$是常見的動能，可以動量${\displaystyle p=mv}$來寫出關係式。

從近光速的例子過渡到低速度極限，可看到E與p的關係是從p轉成p²，在垂直軸跟水平軸皆取對數log的色散關係圖中可看出斜率的改變。

基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有物質波的波動表現。根據描述物質波的「德布羅意關係」，能量E與角頻率ω之間以及動量p與波數k之間皆為正比關係，比值為約化普朗克常數ħ：

${\displaystyle E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k}$。

相應地，角頻率與波數之間也可透過色散關係連結。在非相對論極限（低速度極限的牛頓力學）條件下，利用能量（動能）與動量的關係式：

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

此處省去常數mc²的效應。等式左右分別代入德布羅意關係，可得色散關係：

${\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$。

動畫：電子的相速度與群速度
此動畫描繪了三顆（慢速度）自由電子以德布羅意相速度與群速度行經了寬度為0.4Å的區域。每單位質量的動量，稱為固有速度。中間電子的固有速度為光速c，其群速度則為0.707 c；上方電子則有中間電子的兩倍動量，下方電子則有中間電子的一半動量。注意到：當動量增加時，相速度下降到c，而群速度增加到c，而波包與相位峰值兩者以接近c的速度一同移動；在此同時，波長的下降則無下限值。實驗室中，這類高能電子的橫向與縱向的同調寬度（波包大小）可比此處粒子大上好幾個數量級。

「色散關係」一詞源自於光學。讓光穿過折射率不為常數的介質則有辦法使得光速與波長相依；另外的方法是使用非均勻介質中的光，比如波导。在此情形下，波形會隨著時間擴展開來，窄脈衝波會變成較寬的脈衝波。在這些材料中，${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$為群速度[2]，對應到脈衝包絡線峰值的傳遞速度，並與相速度${\displaystyle {\frac {\omega }{k}}}$不同。[3]

深水的表面重力波的頻率色散。紅點以相速度移動，而綠點以群速度移動。在深水的情形，相速度為群速度兩倍。一同出發的紅、綠點，當紅點走完圖片寬度的全程時，綠點方走一半。

深水波的色散關係常寫為

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}}}$，

其中g是重力造成的加速度。深水的常見定義為水深大於波長之半[4]。在此情形下，相速度為

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}}}$，

而群速度為

${\displaystyle v_{g}={\frac {d{\omega }}{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

非色散橫波的雙頻率拍頻。既然此波為非色散，則相速度（紅點行進速度）等於群速度（綠點行進速度）。

對一條理想弦而言，色散關係可寫為

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$，

其中T為弦的張力，μ為弦每單位長度的質量。

如同真空中的電磁波，理想弦為非色散介質，其相速度與群速度相等，並且與振動頻率無關。

至於非理想弦則需考量到硬度的影響，色散關係變為

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4}}$，

其中${\displaystyle \alpha }$是與弦有關的常數。

在固態物理領域，電子的色散關係佔有重要的角色。晶體的週期性意味著：對一給定的動量存在有多種可能的能階，而有些則是不論什麼樣的動量都不可能會具有的能量。所有可能的能量與動量的組合即為一物質的能带结构。能帶結構的性質定義了一物質是絕緣體、半导体，抑或是導體。

聲子之於聲波一如光子之於光波：其為攜帶波動能量的量子。聲子的色散關係也是重要且非平凡的。許多系統都顯示出聲子存在於兩個分離的能帶。聲子尚可分為光學聲子支與聲學聲子支。

關於穿透式電子顯微鏡中的高能電子（例如200 keV），收斂束電子繞射（Convergent beam electron diffraction, CBED） 型態在高階勞厄區（higher order Laue zone, HOLZ）譜線的能量相依性，允許研究者能對晶體三維色散表面的橫斷面做直接「成像」[5]。這種動態效應可用於晶格參數的準確測量、電子束能量，近期更應用在電子業上。