莫比烏斯-坎特八邊形

莫比烏斯－坎特八邊形
	4個紅色三角形和4個藍色三角形分別代表其8條三元邊
類型	八邊形
對偶	自身對偶
邊	8個3{}
頂點	8
施萊夫利符號	3{3}3
考克斯特符號
對稱群	3[3]3, order 24 （謝潑德群）
特性	正、複

在幾何學中，莫比烏斯－坎特八邊形是一個複正多邊形，其位於 $\mathbb {C} ^{2}$ 複希爾伯特平面中由八個頂點和八個三元稜組成，是一個自身對偶的多邊形[2]。考克斯特將其命名為莫比烏斯－坎特八邊形，用於共享複排佈結構，如莫比烏斯－坎特排佈。[3]

這種形狀由杰弗里·科林·謝潑德於1952年發現，其將此形狀根據其對稱性以3(24)3表示，考克斯特將這種對稱性計為₃[3]₃，其與24階的二元四面體群同構。[4]

性質

莫比烏斯－坎特八邊形是一種由8個頂點和8條稜所組成的幾何結構，其在施萊夫利符號中可以用₃{3}₃來表示、在考克斯特記號中可以用來表示。與一般的八邊形不同，莫比烏斯－坎特八邊形位於複希爾伯特平面，且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點，稱為三元稜或三元邊（Trion）[註 1]，這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用₃{}來表示。[5]

頂點座標

莫比烏斯－坎特八邊形可以於 $\mathbb {C} ^{3}$ 空間中給出，其為：

(ω,−1,0)	(0,ω,−ω²)	(ω²,−1,0)	(−1,0,1)
(−ω,0,1)	(0,ω²,−ω)	(−ω²,0,1)	(1,−1,0)

其中 $\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ 。

作為一種排佈

莫比烏斯－坎特八邊形₃{3}₃的排佈矩陣為：[6]

\left[{\begin{matrix}8&3\\3&8\end{matrix}}\right]

實空間的代表

在實空間中，莫比烏斯－坎特八邊形可以用四維空間的正十六胞体來代表，[7]其共用了相同的8個頂點。當莫比烏斯－坎特八邊形的8條三元邊被繪製為三條獨立的邊時，即可在當莫比烏斯－坎特八邊形中觀察到正十六胞体的24條邊。在下圖中這8個三角形被以每個個分成一組，分別塗上藍色和紅色。下圖中，B₄投影在兩個顏色組之間以兩個擁有不同對稱性的方向進行投影。此外，所代表的實空間形狀也可以是一個β₄的四維正軸形。[7]

正投影圖
考克斯特平面	B₄		F₄
圖
對稱性	[8]		[12/3]

參見

黑塞二十七面體、截半黑塞二十七面體：由莫比烏斯－坎特八邊形組成的多面體。

註釋

在數學中，邊或稜通常可以代表頂點皆只位在單一軸上並不涉及其他軸分量組成的幾何結構，例如x軸上的(2,0)連接到(3,0)的棱，但若將每一個維度從實數推廣至複數，則「軸」的概念可以被替換為高斯平面，這意味著稜不再只是一條線段，而可能是高斯平面上的一個區域。而三元邊或三元棱則為連接三個頂點所構成複數空間的棱。這種結構無法存於實空間，在實空間中，三元棱對應的幾何結構為三角形。

參考文獻

Coxeter, H.S.M., , Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
Coxeter, 1991,[1] p.30, 47
Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244 （页面存档备份，存于）
Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
Complex Regular Polytopes,[1] 11.1 Regular complex polygons p.103
Coxeter, Complex Regular polytopes, p.117, 132
Shephard, G.C. 1952,[4] p.93

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[5] 在數學中，邊或稜通常可以代表頂點皆只位在單一軸上並不涉及其他軸分量組成的幾何結構，例如x軸上的(2,0)連接到(3,0)的棱，但若將每一個維度從實數推廣至複數，則「軸」的概念可以被替換為高斯平面，這意味著稜不再只是一條線段，而可能是高斯平面上的一個區域。而三元邊或三元棱則為連接三個頂點所構成複數空間的棱。這種結構無法存於實空間，在實空間中，三元棱對應的幾何結構為三角形。

[Coxeter,_1991-1] Coxeter, H.S.M., , Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2

[2] Coxeter, 1991,[1] p.30, 47

[3] Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244 （页面存档备份，存于）

[Shephard_1952-4] Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.

[6] Complex Regular Polytopes,[1] 11.1 Regular complex polygons p.103

[7] Coxeter, Complex Regular polytopes, p.117, 132

[Shephard,_G.C._1952_p.93-8] Shephard, G.C. 1952,[4] p.93