菲涅爾轉換

原積分式較為難處理的部分便是${\displaystyle r}$變數，因此我們先對他採取代數轉換，引入一個新變數${\displaystyle \rho }$，代換掉${\displaystyle x,y}$維度的距離：

${\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\,}$

因此${\displaystyle r}$就可以被改寫成以下形式，並且用泰勒展開式去近似成以${\displaystyle z}$和${\displaystyle \rho }$表示

${\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}}$

${\displaystyle =z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]}$

${\displaystyle =z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots }$

因為我們有以下的性質：

${\displaystyle {\sqrt {1+k}}=(1+k)^{1/2}=1+{\frac {k}{2}}-{\frac {k^{2}}{8}}+\cdots }$，在此情況下${\displaystyle k}$即為${\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}$

接著，我們考慮上述展開式的第三項以後，我們希望那之後的項都非常小，小到可以忽略，若要達成這項條件，因為${\displaystyle r}$在原電場關係式出現於複數exponential的次方以及分母，在${\displaystyle \rho \ll z}$的情況下，分母部分第三項以後可以直接省略；而對於複數exponential的次方部分，其必須遠小於一個週期，也就是${\displaystyle 2\pi }$。

這表示我們希望有以下性質：

${\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }$ ，又 ${\displaystyle k={2\pi \over \lambda }\,}$，故可得${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}$

將${\displaystyle x,y,x',y'}$代換回來，我們可將不等式滿足的條件改寫成下式，這表示只要積分式中的${\displaystyle x,y,x',y'}$符合下列不等式，我們便能近似${\displaystyle r}$。

${\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}$

近似結果為泰勒展開式的前兩項：

${\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}$

同時我們將分母的${\displaystyle r}$簡化，由於第一項會遠比第二項來的大，因此我們直接將${\displaystyle r}$近似成${\displaystyle z}$，並將原本的電場公式改寫如下：

${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'}$

如前所述，本式子成立的條件須要我們能比較繞射半徑以及電磁波傳遞之距離，且前者須遠遠小於後者，不論是針對分子的複數exponential的項，或者是分母的項皆是如此。一般來說，當菲涅爾數為1的時候，菲涅爾繞射是可以發生的。同時，觀察此方程式，我們可以發現其類似一個球型波傳遞。雖然此積分式的分析解依然不容易求得(只有發生在少數狀況可直接得到)，若要在更簡化則需要使用夫朗和斐繞射公式。此外，菲涅爾繞射具備波前的曲線性，這樣才能計算出近場電磁波干擾時的相對相位角。

要提到菲涅爾轉換，我們也必須提到線性標準轉換，因為菲涅爾轉換可視為線性標準轉換的一種在時頻分析上的修剪形式(傅立葉轉換對應到的事在時頻分析上的旋轉)；此處以z方向為電磁波傳遞方向，因${\displaystyle z}$在積分式中不是待積分變數，我們可將式子簡化，以二維的方式呈現，線性標準轉換的方程式如下：

${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {-{\frac {1}{ib}}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\;dt\,,}$	當 b ≠ 0,
${\displaystyle X_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(du)\,,}$	當 b = 0.

且${\displaystyle ad-bc=1}$ 若將線性標準轉換的a,b,c,d四個參數寫成一個二乘二的矩陣以及一個行列式限制條件來表示，如同矩陣${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$，其條件為${\displaystyle ad-bc=1}$，可以變換出許多衍生的形式。

根據上述公式，菲涅爾轉換為線性標準轉換的一個特例，表示形式為：

${\displaystyle U_{o}(x,y)=-\ {\frac {i}{\lambda }}{\frac {e^{ikz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}\ dx'dy'}$

其中，${\displaystyle \lambda }$代表波長，${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$，${\displaystyle z}$為電磁波傳遞方向的距離。

我們亦可把菲涅爾轉換當成是兩個一維的線性標準轉換的合成，表示如下：

${\displaystyle U_{o}(x,y)=\ e^{ikz}{\sqrt {\frac {1}{j\lambda z}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i{\frac {k}{2z}}(y-y')^{2}}{\sqrt {\frac {1}{j\lambda z}}}\int _{-\infty }^{\infty }U_{i}(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x-x')^{2}}\ dx'dy'}$

若以矩陣形式來看，則為${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}}$

菲涅爾轉換的積分式也可以有其他種的表示方式，以達到使用其數學性質的目的，如果我們定義以下的函數：

${\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}$

這個積分可以被表示成卷積的形式

${\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z)\,=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }E(x',y',0)*h(x-x',y-y',z)\ dx'dy'}$

換句話說，我們可以將這個電磁波的傳遞，以線性濾波器的模型來表示。這也是為什麼我們一般會將${\displaystyle h(x,y,z)}$稱為自由空間傳遞時的脈衝響應。

另外一種常見的變換形式就是傅立葉轉換，如果在積分式中，我們將${\displaystyle k}$用${\displaystyle \lambda }$來取代，亦即 ${\displaystyle k={2\pi \over \lambda }\,}$，並且將${\displaystyle x,x',y,y'}$的關係展開：

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x')^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\(y-y')^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}}$

那麼我們便可以將此積分式變換為一個二維的傅立葉轉換表示形式，接著，我們使用定義${\displaystyle G(p,q)}$為函數${\displaystyle g(x,y)}$的傅立葉轉換：

${\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}$

其中${\displaystyle p,q}$所代表的是空間頻率，也就是所謂的波數的意思，如此一來，將${\displaystyle g(x,y)=E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}}$代入，我們便能將原本的菲涅爾轉換表示成下列形式：

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}\left.{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=\left\{h(x,y)\right\}\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}},\end{aligned}}}$

換句話說，當我們運用此性質時，先計算${\displaystyle g(x,y)}$的傅立葉轉換，再將${\displaystyle p,q}$代回 ${\displaystyle {\big (}{\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}{\big )}}$，並乘上 ${\displaystyle h(x,y)}$。這樣子表示的好處是，當有一個程序可以讓我們知道目標函數的傅立葉變換，我們便可以用這個方法直接計算，而且此表示形式也與線性標準轉換較為類似。