萊布尼茨函數

仿射幾何歐氏幾何中,萊布尼茨向量和標量函數是把點對應到向量或數量的函數。這種函數和重心關係密切;用重心可以給出函數的簡潔形式。

萊布尼茨向量函數

考慮仿射空間和相伴的向量空間。設點的族,數量的族。與系統相伴的萊布尼茨向量函數是從的映射,把點對應到向量

設係數和為零,那麼函數是常值。如果有一個係數非零(例如),這常值等於,其中是系統的重心。

設係數和非零,函數可化簡成

這個性質使得多個向量的線性組合可以藉由重心化簡成一個向量。如果向量空間是有限維,由此可以給出重心的座標。

其實

把上式轉為座標就是

萊布尼茨標量函數

考慮歐幾里得仿射空間和相伴的域。設點的族,數量的族。與系統相伴的萊布尼茨標量函數,是從的映射,把點M對應到數量

設係數和為零,那麼函數可化簡成

其中等於與這系統相伴的萊布尼茨向量函數的常值,是任意固定點。

設係數和非零,那麼函數可化簡成

其中是系統的重心。

這個化簡令點的位置問題可以很容易解決(見萊布尼茨定理)。

:在2維情形,集適合的是

  • 當係數和為零
    • 垂直的直線,如果非零
    • 整個平面或空集(取決於的值),如果為零
  • 當係數和非零
    • 圓心為的圓,點或空集(取決於的值)

參見

  • 萊布尼茨定理
  • 重心 (仿射幾何)
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