规范形式 (布尔代数)

为了方便书写极小项，我们按照其中的每个变量是否含有逻辑非，为每一个可能的极小项指派一个索引值。

首先确保每个极小项中的变量都按照同样的次序排列（通常按拉丁字母序），从左到右，每个变量对应一个二进制位。一个带逻辑非的项，如${\displaystyle a'}$，对应的二进制位为 0，而一个不带逻辑非的项，如${\displaystyle a}$，对应的二进制位为 1。例如，${\displaystyle abc'}$ 对应的二进制序列是（${\displaystyle 110_{2}}$），因此，其索引是数字 6，这个极小项表达式写作 ${\displaystyle m_{6}}$。与之相似，三个变量的${\displaystyle m_{0}}$是${\displaystyle a'b'c'}$（${\displaystyle 000_{2}}$），而${\displaystyle m_{7}}$则是${\displaystyle abc}$（${\displaystyle 111_{2}}$）。

因为极小项由各变量的逻辑与组合而成，所以只有当所有含有逻辑非的变量取值都为0，且所有不含逻辑非的变量取值都为 1，该极小项才会输出 1。例如，极小项${\displaystyle m_{5}=ab'c}$，只在 a 和 c 都为 1 而 b 为 0 时输出 1。

如果你给出一个逻辑函数的真值表，就可以把这个函数写为"积之和"(由极小项OR起来的序列)。像这样组合出来的布尔表达式，其中任何一个极小项输出 1 时也输出 1，对其余输入其输出都是 0。由于每个极小项都只对一个输入输出 1，所以这个组合可以唯一地表示任何布尔函数。这是析取范式的特殊形式。例如，如果给出真值表

例：布尔函数${\displaystyle f}$的真值表

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle f(a,b)}$
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

观察到${\displaystyle f}$的输出仅在第一行和第三行为 1，所以我们可以把${\displaystyle f}$写为极小项${\displaystyle m_{0}}$和${\displaystyle m_{2}}$之和。

验证：

${\displaystyle f(a,b)=m_{0}+m_{2}=(a'b')+(ab')}$

通过直接计算，结果和这个函数的真值表是一样的。

布尔函数表示为极小项之和的形式，叫做其主析取范式或极小项规范形式。

极大项的索引与极小项的相反：含逻辑非的变量对应的二进制位为 1，不含的对应二进制位为 0。例如，极大项${\displaystyle a'+b'+c}$的索引为 6（${\displaystyle 110_{2}}$），记作${\displaystyle M_{6}}$。同样，三个变量的${\displaystyle M_{0}}$为${\displaystyle a+b+c}$，${\displaystyle M_{0}}$为${\displaystyle a'+b'+c'}$。

可以轻易的使用德·摩根定律验证，极小项的补是同索引的极大项。例如

${\displaystyle m_{2}'=M_{2}}$

${\displaystyle (a+b')'=a'b}$

明显的，极大项 n 现在对这个逻辑函数的第 n+1 个唯一的函数输入给出假值。例如，极大项 5，a'+b+c'，只在 a 和 c 都为真而 b 为假的时候是假的 - 输入为 a = 1, b = 0, c = 1 得到 0。

如果你给出一个逻辑函数的真值表，就可以把这个函数写为“和之积”（由极大项AND起来的序列）。它是合取范式的特殊形式。例如，如果给出真值表

例：布尔函数${\displaystyle f}$的真值表

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle f(a,b)}$
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

观察到${\displaystyle f}$的输出仅在第二行和第四行为 0，所以我们可以把${\displaystyle f}$写为极大项${\displaystyle m_{1}}$和${\displaystyle m_{3}}$之积。

验证：

${\displaystyle f(a,b)=M_{1}M_{3}=(a+b')(a'+b')}$

通过直接计算，结果和这个函数的真值表是一样的。

布尔函数表示为极大项之积的形式，叫做其主合取范式或极大项规范形式。