歸約

以乘法與平方為例的多一歸約示意圖。

我們解題時常遇見似曾相識的題目。此時，我們若可將新題轉換成已解舊題的一例，則新題亦解矣。

另一更微妙的用法是：若我們擁有一個已證明難以解決的問題，我們又獲得另一個相似的新問題。我們可合理推想此新問題亦是難以解決的。我們可由下列謬證法得證：若此新問題本質上容易解答，且若我們可展示每個舊問題的實例可經由一系列轉換步驟變成新問題的實例，則舊問題便容易解決，因此得到悖論。因此新問題可知亦難以解決。

一個歸約簡例是從乘法化成平方。設想我們僅能以加、減、平方與除以二等操作，我們可運用此知識並結合下列方程式，以取得任兩數的乘積：

${\displaystyle a\times b={\frac {\left(\left(a+b\right)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)}{2}}}$

我們亦可從另一方向歸約此問題：顯然地，若我們可以乘以任兩數，則我們可以對任一數平方：

${\displaystyle a^{2}=a\times a}$

因此可見兩問題之難度似乎相等，此類歸約稱為圖靈歸約。上題的圖靈歸約關係為：

乘法${\displaystyle \leq _{T}}$平方且 平方${\displaystyle \leq _{T}}$乘法

然而，若我們增加條件：「此運算只能使用平方一次，且只能在結尾使用」，則更難尋找合適歸約。在這條件下，即使我們使用所有基礎運算，包括乘法，也找不到適當的歸約步驟。因為我們不僅要運算有理數，也必須運算像是${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的無理數。而另一方向的歸約，我們的確可用一次乘法簡單地平方任何數，且此乘法的確是最後的運算。將此限制形式導入歸約中，我們已展示其歸約結論：普遍來說，乘法的確難於平方。此歸約稱為多一歸約。上題的多一歸約關係為：

平方${\displaystyle \leq _{m}}$乘法（因為每個合法的整數平方式n²都可歸約成乘法n×n，但反之不然）

給予兩個自然數N的子集A與B，以及一個函數集合F，型態為由N至N，並擁有複合封閉性。我們稱在F下，A可歸約成B若：

${\displaystyle \exists f\in F{\mbox{ . }}\forall x\in \mathbb {N} {\mbox{ . }}x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B}$

我們寫做：

${\displaystyle A\leq _{F}B}$

設S為P(N)（即自然数集的幂集）的子集，另設≤的歸約關係，則S稱做封閉於≤之下若：

${\displaystyle \forall s\in S{\mbox{ . }}\forall A\in P(\mathbb {N} ){\mbox{ . }}A\leq s\Leftrightarrow A\in S}$

一N的子集A，稱對S困難（hard），若：

${\displaystyle \forall s\in S{\mbox{ . }}s\leq A}$

一N的子集A，若A對S困難且A包含於S集合之內，則稱A對S完備（complete）。

• 若要證明一問題是不可在決定的，我们可以一可計算函數將它轉換成另一已知不可決定的問題，例如，欲證P是不可決定的，可試將停機問題化約成問題P。
• 複雜度類P、NP與PSPACE擁有多項式時間歸約的封閉性。
• 複雜度類L、NL、P、NP與PSPACE擁有對數空間歸約的封閉性。

歸約亦是一種預序關係，意指在P(N)×P(N)，此P(N)上擁有自反關係與傳遞關係，此處的P(N)是自然數的冪集（power set）。

若在某個複雜度類別上的所有問題都可歸約成某問題P，則可稱P是完備（complete）的，且P自己也會處於此類別中。故問題P代表此類別，因其任一解都可經由歸約解決此類別中的所有問題。[2]

依上例所述，在計算複雜度中，主要有兩大類的歸約：多一歸約與圖靈歸約。多一歸約將一問題的所有實例對應到另一問題的實例上；圖靈歸約計算一問題的解，並假設其他問題容易解決。多一歸約強於圖靈歸約。較弱的歸約在分割問題的種類上效率較高，但它們的威力較弱，使本類歸約較難設計。

然而，為了使歸約有用，它們必須易於使用。例如實際研究中常常要將難以得解的NP完備問題，例如SAT問題，歸約成顯而易懂的問題，像藉由效率為指數時間並在有解時輸出整數零的機器，決定一數是否為零。但這並沒有多少用處，因為我們可以執行如同解決舊問題一樣難的歸約以解決新問題。

因此，依照複雜度類別使用適當歸約符號的學問興起。在鑽研複雜度類NP與更難的類別時，我們使用多項式時間多一歸約。在多項式譜系中定義類別時，我們使用多項式時間圖靈歸約。當我們在類別P之內學習NC與NL類別時，我們使用對數空間歸約。歸約也用在可計算性理論中，以顯示問題是否可不可被任何機器解決；在此情境下，歸約僅侷限於可計算函數上。

• 多一歸約
• 真值表歸約
• 圖靈歸約
• Comparison of numberings
• 優化 (計算機)

• （英文） Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford Stein, Introduction to Algorithms, Second Edition, 2001, ISBN 978-0-262-03293-3
• （英文） Hartley Rogers, Jr.: Theory of Recursive Functions and Effective Computability, McGraw-Hill, 1967, ISBN 978-0-262-68052-3.
• （英文） Peter Bürgisser: Completeness and Reduction in Algebraic Complexity Theory, Springer, 2000, ISBN 978-3-540-66752-0.
• （英文） E.R. Griffor: Handbook of Computability Theory, North Holland, 1999, ISBN 978-0-444-89882-1.