解析空間

固定一個完備域 ${\displaystyle (F,|\cdot |)}$（通常取 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$）。

令 ${\displaystyle U=\{(x_{1},\cdots ,x_{n}):\forall i\;|x_{i}|<1\}\subset F^{n}}$，其中 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，令 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ 為 ${\displaystyle U}$ 上的解析函數層。設 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ 為解析函數，我們考慮它們的共同零點形成之空間 ${\displaystyle Z(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ （帶來自 ${\displaystyle F^{n}}$ 的拓撲結構），並賦予結構層 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{m})}$。如此遂得到一個局部賦環空間，這類空間稱作局部模型。

注意到我們容許結構層中有冪零元，一如概形的情形，若一個解析空間的結構層之冪零根為零，則稱之為既約的。

所謂解析空間是一個局部同構於上述空間的局部賦環空間 ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {O}})}$；或者說是局部模型沿著開集的黏合。在 ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$ 時，數學家們已有特別深入的研究，這類解析空間稱為複解析空間，可以視為複流形的推廣。

岡潔引理（Oka's lemma）是這方面的最初成果之一，其推論之一是：複解析空間的結構層是凝聚層，其中的任何理想層也都是凝聚層。

對複解析凝聚層已有一套細緻的理論，包括一些重要的有限性定理；詳閱 Grauert 與 Remmert 的著作（見參考文獻）。

具良好性質（局部諾特、分離……）的複概形 ${\displaystyle X}$ 可視作解析空間；形式地說，有解析化函子

${\displaystyle X\mapsto X^{\mathrm {an} }}$，映至相應的複解析空間。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$，將 ${\displaystyle X}$ 上的代數凝聚層映至 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$ 上的解析凝聚層。

於是引生兩大問題：

1. 比較複概形及其解析化的諸般性質：包括拓撲性質（連通性、緊性、分支、真態射）及上同調（或者更一般的高階正像導函子${\displaystyle R^{i}f_{*}(-)}$ ）等等……。
2. 複解析空間的代數性問題：一個複解析空間稱作是代數的，若且唯若它同構於某個 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$，其中 ${\displaystyle X}$ 是個複概形；顯然存在非代數的複解析空間（例如 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的單位圓盤）。能否給出代數性的一般判準？

關於第一個問題，可參閱塞爾的著名論文 Géométrie algébrique et géométrie analytique（代數幾何與解析幾何），或 SGA 卷一附錄。第二個問題則牽涉甚廣。已知一維緊複流形皆是射影代數簇，這是黎曼的經典結果；至於一般的整、緊複解析空間，代數化的必要條件之一是存在「夠多」亞純函數，明確地說，即亞純函數域的超越次數須等於空間的維度；這類空間稱作 Moishezon 空間。對於緊複流形，另一個必要條件是須有 Kähler度量。

• H. Grauert, R. Remmert, Analytische Stellenalgebren (1971) , Springer-Verlag （也有英譯本：Coherent Analytic Sheaves）
• Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud. . Société Mathématique de France. 2003: xviii+327 [1971]. ISBN 978-2-85629-141-2 （法语）. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
• J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique." （页面存档备份，存于） Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.