謝麗爾的生日

此問題是由新加坡《獅城有約》的电视主持人江堅文貼上Facebook[1]，之後有數千個回覆，包括一些有趣的回覆，例如認為雪莉根本不希望艾伯特和柏納知道她的生日，這一題引發了江堅文和他妻子的爭論，江堅文誤以為這是小學數學考試的一部份，且是針對5至6歲的儿童[4]。江堅文後來更正這是2015新加坡及亞洲學校數學奧林匹克（SASMO）的題目，是針對14歲的學生設計[5]。比賽在2015年4月8日舉行，有二萬八千名來自新加坡、泰國、越南、中國及英國的學生參加[6]。SASMO的主辦人員表示，此問題是針對參賽者中的前40%，目的是為了「篩選出更好的學生」。SASMO的執行董事告訴BBC：「這樣的邏輯及分析思考可以用在生活上及工作中。」[7]。

此問題是在25個問題中的第24個，問題如下[4]：

艾伯特和柏納剛認識雪莉，想要知道雪莉的生日，雪莉列出了十個可能的日期：
5月15日、5月16日、5月19日、6月17日
6月18日、7月14日、7月16日、8月14日
8月15日、8月17日

接著雪莉分別告訴艾伯特及柏納她生日的月及日，以下是艾伯特和柏納的回應。

• 艾伯特：我不知道雪莉的生日是哪一天，但我知道柏納也不知道
• 柏納：一開始我不知道雪莉的生日，但現在我知道了
• 艾伯特：那我也知道雪莉的生日了

請問谢丽尔的生日是那一天？

谢丽尔的生日是7月16日[8]。 其解法是推理的方式，刪去不可能的日期[9]，這也是Alex Bellos在英國的《衛報》解出此題的方式[10]：

可能的生日用表格方式條列如下，將同月的放在同一列，同日的放在同一欄：

（第一句話）艾伯特：我不知道雪莉的生日是哪一天，但我知道柏納也不知道。

艾伯特知道的是月份，而每一個月都有一個以上的可能日期，不論艾伯特知道的月份是哪一個月，都不可能會知道雪莉的生日，第一句話的前半沒有提供有關生日的資訊。

柏納若要知道明確的生日日期，唯一的可能是生日日期的日在十個可能日期中只出現過一次，十個可能日期中，只有18日和19日各出現過一次，例如若柏納知道生日的日是18或是19，就可以立刻推理得到生日是6月18日或5月19日。

但艾伯特說他知道柏納也不知道生日是哪一天，因此可以推測他知道的月份是5月或6月以外的月份（即7月或8月），因為若是5月或6月，柏納有可能知道生日是哪一天。

（第二句話）柏納：一開始我不知道雪莉的生日，但現在我知道了

根據第一句話柏納可以推測月份是7月或8月，而他已經知道生日是哪一天，表示他知道的日是在7月或8月中只出現過一次的日，因此可以排除7月及8月可能生日中都有出現的14日，柏納知道的日可能是15日、16日或17日。

（第三句話）艾伯特：那我也知道雪莉的生日了

目前還有可能的生日是7月16日、8月15日及8月17日，而艾伯特在聽完第二句話就可以知道生日是哪一天，表示他知道的月份在7月16日、8月15日及8月17日中只出現一次。因此他知道的月份是7月，生日是7月16日。

答案是7月16日。

除了上述答案外，有些人認為8月17日也是一個可能的答案。[11]但新加坡及亞洲學校數學奧林匹克認為此答案無效。[12]

2种情形的解法步骤比较

对比7月16日和8月17日两种答案的推理过程，可以知道：

• 根据第一句话首先排除的是5月和6月这两个月份，而不仅仅是5月19日和6月18日这两天。
• 8月17日的推理过程隐含了对第一句话的错误理解，即理解成了“因为艾伯特知道柏纳不知道谢丽尔的生日是哪一天，所以艾伯特也不知道”。6月17日就因为这种理解被排除的。而第一句话的正确理解是“艾伯特不知道谢丽尔的生日是哪一天，并且柏纳也不知道”。
• 由于对第一句话内在逻辑的不同理解，出现了版本1；又由于对“知道（know）”一词的不同理解，出现了版本2。

以下各表中以“×”号表示因被排除而被划去的日期。为美观起见，实际操作时，各表还可以简写为数阵的形式。

步骤	情形1	情形2（不同的题意理解）
第一步结果	5月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 6月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 7月 14 16 8月 14 15 17 这一步如果用矩阵语言表述，就是找出独占一列的元素“18日”与“19日”，并根据题意排除它们及其所在行，即划去它们的所在行。	5月 15 16 ${\displaystyle \times }$ 6月 17 ${\displaystyle \times }$ 7月 14 16 8月 14 15 17 这一步如果用矩阵语言表述，就是找出独占一列的元素“18日”与“19日”，并根据题意排除它们，即划去这2个元素。（不划去所在行的其它元素。）
第二步结果	5月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 6月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 7月 ${\displaystyle \times }$ 16 8月 ${\displaystyle \times }$ 15 17 上一步完成后，现在只剩下7月和8月这2个可选的月份，即余下的矩阵的行秩为2。这一步的做法用矩阵语言表述就是在余下的矩阵中找出并划去行满秩的列（向量），即划去同时出现在7月和8月的“14日”。因为此时的行满秩向量不能仅由日期做出判断，与题意中“柏纳已经在这一步可由日期唯一推知生日”这一事实不符，故被整列地排除掉。	5月 15 16 ${\displaystyle \times }$ 6月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 7月 14 16 8月 14 15 17 这一步仍是对艾伯特所说的第1句话的推断。因在上一步操作后，剩下了一个“6月17日”可由月份唯一确定，但艾伯特又肯定说自己还推不出日期，所以“6月17日”可以排除。这一步的做法用矩阵语言表述就是在余下矩阵中找出只在各行出现一次的日期（此例中是“17日”，它是6月里唯一出现的日期），并划其所在行。
第三步结果	5月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 6月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 7月 ${\displaystyle \times }$ 16 8月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 艾伯特在第2次发言时已表示自己也可推出生日，说明在余下的选项中，已经可以由月份唯一确定出生日。这一步的做法用矩阵语言表述就是在余下的矩阵中找出只在各行出现一次的日期（此例中是“16日”，它是7月里唯一出现的日期），并划去其余的行。	5月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 6月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 7月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 8月 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ 17 柏纳发言时已表示自己也可推出生日，说明在余下的选项中，已经可以由日期唯一确定出生日。这一步的做法用矩阵语言表述就是在余下的矩阵中找出只在各列出现一次的日期（此例中是“17日”，它只在8月出现），并划去其余的列。 注意在这种情形中，艾伯特的第2次发言是多余条件。但艾伯特的第1次发言在推断中应用了2次。

本题可抽象和推广为一类在层层递进的限制条件下，从高维向量空间的有限点集中筛选特定点的问题。为保证问题可解且有唯一的解，作为猜测范围的有限点集必须是精心选取的。

这里以4维情况为例作一个说明。X先生从4维欧几里德空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$中精心挑选出一个点集${\displaystyle A}$作为参考范围（要保证谜题可解），再从${\displaystyle A}$中挑选出一个特定的点${\displaystyle x}$作为猜测对象。X先生取${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$的标准基作为参考基底，从而${\displaystyle A}$中各点都有了唯一的坐标数值。设点${\displaystyle x}$在标准基下的坐标表示为${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$。X先生将${\displaystyle x_{1}}$写在纸片上递给了甲，将${\displaystyle x_{2}}$写在纸片上递给了乙，将${\displaystyle x_{3}}$写在纸片上递给了丙，将${\displaystyle x_{4}}$写在纸片上递给了丁。然后由4人轮流或自由发言，但只能谈及自己是否能准确推知${\displaystyle x}$的所有坐标值，或者是否能有把握地预测另一人的推断结果。这里还需要假定这4个参与者都足够聪明，且都在积极思考答案。当所有人都确信自己已可推出答案时（即此问题可解时），再由读者来推断${\displaystyle x}$的坐标。

上例所示的4维点集筛选问题可自然地推广至n维。当n=2时，此类问题可用列出数表的方法（先列出一个包含所有参考选项的2维数表，再根据题设条件一步一步划去不符合题意的选项）求解。n≥3时，考察集合已难以用简洁的数表描述，但可视作n维数组或n阶张量（考察集合是点集，点集的坐标当然符合张量变换规律，所以可视作张量），并易于利用计算机编程求解。以2维点集的筛选为例，其算法大体上就是先根据说话人的描述对象（是自己的猜测还是对别人的猜测）所属的组别确定是筛选行向量还是列向量，并根据说话人的判断情况选择是划去选出的子向量组还是划去未选中的向量组。然后根据说话人的发言顺序逐步循环筛选下去。因为对话数量是有限的，所以只要题目所设条件信息充分，在有限步骤内一定可以完成筛选循环。求解答案的算法实际上也是判断可解性的算法，如果到最后一个条件用完后还算不出答案，那么原题一定无解。

除参考集合可以推广至高维向量空间外，求解的对象也可由一个点推广为多个点。即求解${\displaystyle A}$的某个元素变为求解${\displaystyle A}$的某个子集。当求解的点数增多时，与直接靠脑力思考的方法相比，代数方法仍具有判断速度快和可程序化处理的优势。

• 和與積的問題