調和數

根據定義，調和數滿足遞推關係

${\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}}$

它也滿足恆等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}$

對於第n項調和數，有以下公式

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$

設:${\displaystyle x=1-u\,\!}$，由此得到

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$

對於調和數${\displaystyle H_{n}}$，當n不是太大時，可以直接計算。

當n特別大時，可以進行估算。

因為${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\gamma }$，

其中${\displaystyle \gamma \approx 0.5772156649}$称为欧拉-马斯刻若尼常数，

由此得到

${\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma }$

當n越大時，估算越精確。

更精確的估算是

${\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}$

其中${\displaystyle B_{k}}$是第k項伯努利數。