貝爾性質

若一個拓樸空間${\displaystyle X}$的子集合${\displaystyle A}$是一個有貝爾性質的幾乎開集，那就表示存在一個${\displaystyle U\subseteq X}$使得${\displaystyle A\bigtriangleup U}$為貧乏集，此處的${\displaystyle \bigtriangleup }$為對稱差；此外[1]若${\displaystyle A}$有限制意義下的貝爾性質的話，就表示說對於任意${\displaystyle X}$的子集合${\displaystyle E}$而言，${\displaystyle A}$跟${\displaystyle E}$的交集${\displaystyle A\cap E}$相對於${\displaystyle E}$有貝爾性質。[2]

有貝爾性質的集合構成集族為一個σ-代数，也就是說，幾乎開集的補集也是幾乎開集，且任何可數多個幾乎開集的聯集或交集也是幾乎開集；[1]此外，由於空集合本身是貧乏集，因此所有的開集都是幾乎開集之故，因此所有的博雷爾集都是幾乎開集。

若一個波蘭空間的子集合有貝爾性質，那麼與其對應的巴拿赫－馬祖爾遊戲是決定的。此命題的逆命題一般不成立，然而若一個適當點類${\displaystyle \Gamma }$中的所有遊戲都是決定的，那${\displaystyle \Gamma }$中的每個集合都有貝爾性質，也就是說根據由足夠大的基數推導而出的射影決定性，波蘭空間中所有的射影集都有貝爾性質。[3]

利用選擇公理，可知一些實數的子集不具貝爾性質，一個沒有貝爾性質的實數子集的具體的例子是維塔利集合。[4]實際上選擇公理就已足以證明這點：根據布尔素理想定理，自然數集合上存在有一個非主理想超濾子，而每一個有如此性質的超濾子，都可在以二進制表示實數的狀況下，用以導出一個沒有貝爾性質的實數集。[5]

• 幾乎開映射
• 贝尔纲定理
• 開集

• Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property （页面存档备份，存于）