賦值向量環

設 ${\displaystyle F}$ 為整體域，例如有理數域 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$、一般的數域或函數域 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$ 等等。設 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 為其中的代數整數環。對於所有 ${\displaystyle F}$ 上的賦值 ${\displaystyle v}$（又稱位），可定義相應的完備化 ${\displaystyle F_{v}}$。在此，通常將賦值分為有限與無限兩類：

• 有限賦值：一一對應於 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 的素理想，兩兩不相等價。其中的賦值環記為 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$。
• 無限賦值：${\displaystyle F}$ 上的阿基米德賦值。對於數域，無限賦值係由域的嵌入 ${\displaystyle \alpha :F\to \mathbb {C} }$ 給出，兩個嵌入 ${\displaystyle \alpha ,\beta :F\to \mathbb {C} }$ 給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛：${\displaystyle \alpha ={\bar {\beta }}}$。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 表示賦值，並以 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid \infty }$ 表示 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 為無窮賦值。

定義

${\displaystyle \mathbb {A} _{F}:={\prod _{v}}'F_{v}}$

上式的積稱為限制積，這是 ${\displaystyle \Pi _{v}F_{v}}$ 的子環，我們要求對其中的每個元素 ${\displaystyle (\alpha _{v})_{v}}$，存在包含所有無窮賦值的有限集 ${\displaystyle S}$，使得 ${\displaystyle v\notin S\Rightarrow \alpha _{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$。賦予 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 相應的子空間拓撲，是為賦值向量環。

${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 的拓撲由在 ${\displaystyle 0}$ 點的一組局部基確定，可取下述形式之開集：

${\displaystyle (\prod _{v\in S}U_{v})\times (\prod _{v\notin S}{\mathcal {O}}_{v})}$

其中 ${\displaystyle S}$ 是函括所有無限賦值的有限集，${\displaystyle U_{v}\ni 0}$ 是 ${\displaystyle F_{v}}$ 的開子集。根據吉洪諾夫定理可知 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 為局部緊拓撲環，這是採限制積定義的原因之一。

• 對角嵌入 ${\displaystyle F\to \Pi _{v}F_{v}\quad (\alpha \mapsto (\alpha )_{v})}$ 的像落在 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$，可證明 ${\displaystyle F}$ 構成 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 的離散子集，而商群 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}/F}$ 是緊群。

• 固定 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 的任一特徵標 ${\displaystyle \psi \neq 1}$，則任何特徵標 ${\displaystyle \psi '}$ 皆可唯一地表示成 ${\displaystyle \psi '(x)=\psi (ax)\quad (a\in \mathbb {A} _{F})}$，是故加法群 ${\displaystyle (\mathbb {A} _{F},+)}$ 是其自身的對偶群。這是在賦值向量環上開展調和分析的關鍵之一。

賦值向量環主要用於代數數論中。對於 ${\displaystyle F}$ 上的代數群 ${\displaystyle G}$，可考慮其上的 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}-}$點 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$。由於代數群總是線性的（換言之，可嵌入 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$），${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$ 可以具體設想為係數佈於環 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 上的線性群，並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是 ${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$，此時 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})=\mathbb {A} _{F}^{\times }}$ 稱為 idèle 群，這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中，須考慮更廣泛的代數群，以描述數域的絕對伽羅瓦群。

• J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory ISBN 0-12-163251-2