赫尔德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示L^p空間的相互關係的基本不等式：

設${\displaystyle S}$為測度空間，${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$，及${\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1}$，設${\displaystyle f}$在${\displaystyle L^{p}(S)}$內，${\displaystyle g}$在${\displaystyle L^{q}(S)}$內。則${\displaystyle f{\mbox{ }}g}$在${\displaystyle L^{1}(S)}$內，且有

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},}$

等号当且仅当${\displaystyle |f|^{p}}$与${\displaystyle |g|^{q}}$（幾乎處處）线性相关时取得，即有常數${\displaystyle \alpha ,\beta }$使得${\displaystyle \alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}}$對幾乎所有${\displaystyle x\in S}$成立。

若${\displaystyle S}$取作${\displaystyle \{1,...,n\}}$附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數）${\displaystyle x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}}$，有

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}$。

我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取${\displaystyle S}$為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當${\displaystyle p=q=2}$，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明${\displaystyle L^{p}}$空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明${\displaystyle L^{p}}$空間是${\displaystyle L^{q}}$空間的對偶。