超完全數

超完全數（）是指一正整數 n 滿足下式：

\sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,

未解決的數學問題：存在奇數的超完全數嗎？

其中σ為除數函數。超完全數可視為一種廣義的完全數，其英文superperfect number是由Suryanarayana在1969年開始使用[1]。

以4為例，4的因數有1, 2, 4，除數函數 $\sigma (4)=1+2+4=7$ ，其因數為1, 7， $\sigma (\sigma (4))=1+7=8=4\times 2$ ，因此, 4是超完全數。

頭幾個超完全數是：

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 （OEIS數列A019279）。

若n是偶數的超完全數，則n一定是2的乘幂2^k，而且2^k+1-1為梅森素数[1][2]。

目前還不知道是否存在奇數的超完全數，若存在奇數的超完全數n，n會是一個平方數，且n或σ(n)需為三個相異質數的倍數[2]。已知在小於7x10²⁴的整數中沒有奇數的超完全數[1]。

廣義的超完全數

完全數及超完全數都可視為是範圍更大的m-超完全數的特例，m-超完全數滿足下式：

\sigma ^{m}(n)=2n,

m=1及2時分別是完全數及超完全數，若m ≥ 3，不存在偶數的m-超完全數[1]。

m-超完全數則是(m,k)-完全數的特例，(m,k)-完全數滿足下式[3]：

\sigma ^{m}(n)=kn\,.

若依此表示法，一般的完全數為(1,2)-完全數，多重完全數是(1,k)-完全數，超完全數是(2,2)-完全數，m-超完全數則是(m,2)-完全數[4]。以下是一個(m,k)-完全數的範例：

m	k	(m,k)-完全數	OEIS 数列
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	任意數	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	任意數	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

Guy (2004) p.99
Weisstein, Eric W. (编). . at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
Cohen & te Riele (1996)
Guy (2007) p.79

Superperfect Number at PlanetMath.
Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. . Experimental Mathematics. 1996, 5: 93–100. Zbl 0866.11003.
Guy, Richard K. 3rd. Springer-Verlag. 2004. B9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
Suryanarayana, D. . Elem. Math. 1969, 24: 16–17. Zbl 0165.36001.

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