超立方體堆砌

在四維歐幾里得幾何空間中，超立方體堆砌（）[1]是三種正四維空間堆砌（亦稱為填充、鑲嵌或蜂巢體）之一，由超立方體堆砌而成。它亦可被看作是五維空間中由無窮多個超立方體胞組成的二胞角為180°的五維正無窮胞體，因此在許多情況下它被算作是五維的多胞體。

超立方體堆砌
一個3x3x3x3紅藍棋盤超立方體堆砌的透視投影。|220px]]
類型正四維堆砌
家族立方形堆砌
維度4
對偶多胞形自身对偶
類比立方体堆砌
數學表示法
考克斯特符號
node_1 4 node 3 node 3 node 4 node 
node_1 4 node 3 node 3 node 4 node_1 
nodes split2 node 3 node 4 node_1 
node_1 4 node 4 node 2 node_1 4 node 4 node 
node_1 4 node 4 node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 
node_1 infin node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 
施萊夫利符號{4,3,3,4}
t0,4{4,3,3,4}
{4,3,31,1}
{4,4}2
{4,3,4}x{∞}
{4,4}x{∞}2
{∞}4
性質
四維胞{4,3,3}
胞{4,3}
面{4}
歐拉示性數0
組成與佈局
棱圖
8 {4,3}
顶点图
16 {4,3,3}
對稱性
考克斯特群, [4,3,3,4]
, [4,3,31,1]
特性
點可遞、 邊可遞、 面可遞、 胞可遞

超立方體堆砌在施萊夫利符號中，以{4,3,3,4}表示，透過超立方體胞填密4維空間構成[2]。其頂點圖是一個正十六胞體，在每單位立方中，每相鄰的兩個超立方體胞有四個正方形相遇、八個邊相遇、頂點則有16個相遇。超立方體堆砌是平面正方形鑲嵌的類比、也是三維空間立方體堆砌在四維空間的類比[3]，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}[4]，為立方形堆砌家族的一部份，在這個家庭的鑲嵌都是自身对偶。

坐標

此蜂巢體（即該堆砌的整體）的頂點皆位於四維空間中的整數點(i,j,k,l)上，對所有的i,j,k,l皆為超立方體邊長的整數倍[5]，因此邊長為1超立方體堆砌也可以視為四維空間中的座標網格。

結構

超立方體堆砌有許多不同的Wythoff結構。最對稱的形式是施萊夫利符號{4,3,3,4}表示正圖形，另一種形式是有兩種超立方體交替，有如棋盤一般，在施萊夫利符號中用{4,3,31,1}表示。最低的對稱性Wythoff結構是在每個頂點附近有16個稜柱形，其施萊夫利符號表示為{∞}4。其可利用截胞（Sterication）來構造。

相關多面體和鑲嵌

考克斯特群[4,3,3,4]、node 4 node 3 node 3 node 4 node 產生了31個排列均勻的鑲嵌，21具有獨特的對稱性和20具有獨特的幾何形狀。擴展超立方體堆砌（也被稱為截胞超立方體堆砌）其形狀在幾何上與超立方體堆砌相同。

擴展
對稱群		 擴展
标记		 阶 蜂巢體
（堆砌）
[4,3,3,4]: node_1 4 node 3 node 3 node 4 node  ×1

node_1 4 node 3 node 3 node 4 node  1, node 4 node_1 3 node 3 node 4 node  2, node_1 4 node_1 3 node 3 node 4 node  3, node_1 4 node 3 node_1 3 node 4 node  4,
node_1 4 node 3 node 3 node_1 4 node  5, node 4 node_1 3 node_1 3 node 4 node  6, node_1 4 node_1 3 node_1 3 node 4 node  7, node_1 4 node_1 3 node 3 node_1 4 node  8,
node_1 4 node_1 3 node 3 node 4 node_1  9, node_1 4 node 3 node_1 3 node_1 4 node  10, node_1 4 node_1 3 node_1 3 node_1 4 node  11, node_1 4 node_1 3 node_1 3 node 4 node_1  12,
node_h1 4 node 3 node 3 node 4 node  13

[[4,3,3,4]] node_c3 split1 nodeab_c2 4a4b nodeab_c1  ×2 node_1 4 node 3 node 3 node 4 node_1  (1), node_h1 4 node 3 node 3 node 4 node_h1  (2), node_h 4 node 3 node 3 node 4 node_h  (13), node_1 4 node 3 node_1 3 node 4 node_1  18
node_h1 4 node 3 node_1 3 node 4 node_h1  (6), node_1 4 node_1 3 node 3 node_1 4 node_1  19, node_1 4 node_1 3 node_1 3 node_1 4 node_1  20
[(3,3)[1+,4,3,3,4,1+]]
= [(3,3)[31,1,1,1]]
= [3,4,3,3]		 node_c2 split1 nodeab_c1 4a4b nodes 
= nodeab_c1 split2 node_c2 split1 nodeab_c1 
= node_c2 3 node_c1 4 node 3 node 3 node 		 ×6

node 4 node 3 node_1 3 node 4 node  14, node 4 node_1 3 node 3 node_1 4 node  15, node 4 node_1 3 node_1 3 node_1 4 node  16, node 4 node_h 3 node_h 3 node_h 4 node  17

參考文獻
  1. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  2. Quaternionic modular groups （页面存档备份，存于） Submitted by C. DavisDedicated to the memory of John B. Wilker [2014-4-27]
  3. Barnes, John. "The Fourth Dimension." Gems of Geometry. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 57-81.
  4. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 （页面存档备份，存于）
  5. Klitzing, Richard. . bendwavy.org. [2014-04-27].
  • Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 （页面存档备份，存于）
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs) - Model 1
  • Klitzing, Richard. . bendwavy.org. x∞o x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞x x∞o,x∞x x∞x x∞x x∞x, x∞o x∞o x4o4o, x∞o x∞o o4x4o, x∞x x∞o x4o4o, x∞x x∞o o4x4o, x∞o x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4o, x∞x x∞x o4x4o, x∞x x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o *d4x, x∞o o3o3o *d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - test - O1
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