超运算

1928年，威廉·阿克曼提出了一个三自变量的函数${\displaystyle \phi (a,b,n)}$，后来发展为现有的两个自变量的阿克曼函数。初始的阿克曼函数与现在的超运算之间的区别更大，因为他当时使用了初始条件：对所有${\displaystyle n>2}$，有${\displaystyle \phi (a,0,n)=a}$。另外他还将${\displaystyle n=0}$指定为加法、${\displaystyle n=1}$为乘法、${\displaystyle n=2}$为幂。因而，幂运算及更高阶的运算就有了完全不同的结果。

n	运算	注释
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=ab}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)}$	类似超-4运算，但其迭代函数比普通超-4运算更为复杂
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)}$	不要与超-5运算相混淆

路莎·彼得（Rózsa Péter）还曾用${\displaystyle A(0,b)=2b+1}$作初始条件，但无法形成一个超运算等级。

1984年，C.W.克莱恩肖（C. W. Clenshaw）和F.W.J.奥立弗（F. W. J. Olver）开始讨论如何使用超运算以防止计算机浮点数溢出。[15]此后，很多人[16][17][18]都开始对于超运算在浮点数表示中的应用产生兴趣。在探讨超-4运算时，克莱恩肖等人曾令${\displaystyle F_{n}(a,0)=0}$作为初始条件，这就产生了又一个超运算等级。

n	运算	注释
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=ab=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}=e^{b\ln(a)}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}$	类似超-4运算，但其迭代函数比普通超-4运算更为复杂
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=(x\mapsto a[4](x-1))^{b}(0)}$	不要与超-5运算相混淆

1914年阿尔伯特·贝内特提出了超运算，很可能是关于超运算最早的尝试。交换超运算通过以下递归法则定义：

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}$

由于a和b的对称性，意味着所有的超运算都是可交换的。但由于序列并不包括幂运算，因此也就不能成为一个超运算等级。

n	运算	注释
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln(e^{a}+e^{b})}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b=\ln(e^{a}e^{b})}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=ab=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$	由对数性质而来
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=e^{\ln(a)\ln(b)}}$	幂运算的可交换形式
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}$	不要与超-4运算相混淆

均衡超运算于1991年首先由克莱门特·弗拉皮耶（Clément Frappier）提出[19]，这种超运算是基于函数${\displaystyle x^{x}}$的，因而与斯坦豪斯-莫泽表示法（Steinhaus-Moser notation）有关。均衡超运算的递归法则是

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=(x\to F_{n}(x,x))^{\log _{2}(b)}(a)}$

n	运算	注释
0		不存在
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=ab=a2^{\log _{2}(b)}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}=a^{2^{\log _{2}(b)}}}$	就是幂运算
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\to x^{x})^{\log _{2}(b)}(a)}$	不要与超-4运算相混淆

还有一种变化形式的特点是从左到右的顺序进行求值，即：

• ${\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1}$
• ${\displaystyle a\times b=(a\times (b-1))+a}$
• ${\displaystyle a^{b}=(a^{(b-1)})\times a}$

令（通过°或下标）${\displaystyle a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a}$，有初始条件${\displaystyle a_{(1)}b=a+b,a_{(2)}0=0}$，且对所有${\displaystyle n>2}$有 ${\displaystyle a_{(n)}0=1}$。

这样所产生的一个问题是，在4阶时它就与通常的定义不同：${\displaystyle a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}}$。出现这一问题的原因在于加法和乘法运算有一种称为结合律的对称性，但这在幂运算上并不成立。由于通过这种超运算所得到的结果在3阶以上都比普通的超运算更小，因而把这种超运算称为低级超运算。

n	运算	注释
0	${\displaystyle a+1}$	后继函数
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=ab}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$	幂运算
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{a^{(b-1)}}}$	不要与超-4运算相混淆
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=(x\to x^{x^{(a-1)}})^{b-1}(a)}$	不要与超-5运算相混淆

超運算等級推廣至實數的可能結果，當${\displaystyle F_{n}(3,3)}$的n為實數時。目前實數階的超運算未有相關理論能夠計算，但仍可以以近似的方式得出結果。[20]

在取不同的初始条件或不同的递归法则时，就会产生不同的运算。一些数学家扩展出了超运算的许多变体。

通常，超运算等级（hyperoperation hierarchy）${\displaystyle (S,\,I,\,F)}$是一个以集合${\displaystyle I}$为索引集、基于集合${\displaystyle S}$的二元运算族${\displaystyle (F_{n})_{n\in I}}$。对于${\displaystyle i,j,k\in I}$，有：

• ${\displaystyle F_{i}(a,b)=a+b}$（加法）
• ${\displaystyle F_{j}(a,b)=ab}$（乘法）
• ${\displaystyle F_{k}(a,b)=a^{b}}$（幂）

如果不满足最后一个条件的话，就能将交换超运算包括在内。当然，也可以明确地定义每一个超运算，但这就超出了我们讨论的范围。大多数的变体形式只包含了对于后继函数（即加法）的定义，而乘法则由递归法则来进行定义。由于这属于对超运算等级的定义，而非等级本身的性质，很难给出形式上的定义。

对于超运算，除了古德斯坦给出的定义外，还有很多其他可能性。如果对${\displaystyle F_{n}(a,0)}$和${\displaystyle F_{n}(a,1)}$采用不同的初始条件，则产生的超运算在比幂运算更高阶时就会有不同的结果。现今的超运算定义的条件包括对所有${\displaystyle n\geq 3}$有${\displaystyle F_{n}(a,0)=1}$，而在其他形式中也有${\displaystyle F_{n}(a,0)=a}$或${\displaystyle F_{n}(a,0)=0}$的情况。

关于超运算的一个未解决问题是超运算等级${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mathbb {N} ,F)}$是否能推广到${\displaystyle (\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,F)}$[21]^:5甚至${\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} ,F)}$，以及${\displaystyle (\mathbb {C} ,F_{n})}$是否能成为一个拟群。