輔助函數

由於上述的命名常規之故，因此可藉由簡單地檢視超越數論的最早結果，認為輔助函數和超越數的研究同時出現。輔助函數最早的結果之一就是劉維爾對於超越數存在性的證明，在其中，他證明了說劉維爾數這類數字是超越數。[2]他藉由發現這類數滿足的超越數條件證明此點。在給出這樣的條件時，他首先從一般的代數數${\displaystyle \alpha }$開始，並找出這些數字必須滿足的條件。他用來證明這條件的輔助函數就是${\displaystyle \alpha }$的極小多項式，而這多項式即是滿足${\displaystyle f(\alpha )=0}$的整係數不可約多項式。這多項式可用以估計${\displaystyle \alpha }$可多好地為有理數${\displaystyle p/q}$所估計，特別地，在${\displaystyle \alpha }$的次數${\displaystyle d}$至少為2的狀況下，他證明了說

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{d}}}}$

此外，他利用了中值定理證明說存在一個取決於${\displaystyle \alpha }$的常數${\displaystyle c(\alpha )}$，使得下式成立：

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\leq c(\alpha )\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|}$

將這些結果結合，就可得到一個代數數必須滿足的性質，因此任何不滿足這條件的數，都必然是超越數。

劉維爾證明中用到的輔助函數非常簡單，就單單是會在給定的代數數處消失的多項式。這樣的性質一般是輔助函數所要滿足的性質，也就是這函數會在特定點消失或變得非常小，而將這點與「這些函數在這樣的點不能消失或變得非常小」這假設相結合，就可得出結果。

另一個早期且簡單的例子，出現於傅立葉對${\displaystyle e}$不是有理數的證明中，[3]盡管所用的表記使這件事時變得不明顯。傅立葉的證明使用了指數函數的冪級數：

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

在截取此冪級數的一些項，如${\displaystyle N+1}$項後，可捯一個次數為${\displaystyle N}$的有理係數多項式，而這多項是在一定意義上會接近${\displaystyle e^{x}}$。特別地若檢視以餘項定義的輔助函數

${\displaystyle R(x)=e^{x}-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

那這作為指數多項式的函數的值，在${\displaystyle x}$很小時就當趨近於零。若${\displaystyle e}$是一個有理數，那麼在${\displaystyle x=1}$的情況下，${\displaystyle R(1)}$也應當是個有理數；而傅立葉藉由消去所有可能分母的方式，證明了${\displaystyle R(1)}$不可能是有理數。因此${\displaystyle e}$不可能是有理數。

埃爾米特藉由以作為兩個多項式比值得有理函數而非多項式逼近${\displaystyle e^{x}}$的方式，拓展了傅立葉的結果；特別地，他選取了多項式${\displaystyle A(x)}$和${\displaystyle B(x)}$，使得如下的輔助函數${\displaystyle R(x)}$可以在${\displaystyle x=0}$附近取任意小的值：

${\displaystyle R(x)=B(x)e^{x}-A(x)}$

若${\displaystyle e^{r}}$是個有理數，那麼${\displaystyle R(r)}$也應當是個有特定整數分母的有理數；而埃爾米特證明說${\displaystyle R(r)}$可以任意小，以致無法取任何的整數分母，並因此得到矛盾。

在證明${\displaystyle e}$是超越數時，埃爾米特將他的結果推進一步，在其中他不只估計${\displaystyle e^{x}}$的值，同時也估計了在${\displaystyle k=1,\cdots ,m}$等整數時${\displaystyle e^{kx}}$的值，在證明中，他假定${\displaystyle e}$是${\displaystyle m}$次代數數。

為了估計${\displaystyle e^{kx}}$的值，他以下式定義了輔助函數${\displaystyle R_{k}(x)}$，其中${\displaystyle A_{k}(x)/B(x)}$是分母相同的整係數有理函數：

${\displaystyle R_{k}(x)=B(x)e^{kx}-A_{k}(x)}$

在導出矛盾方面，埃爾米特首先假定說${\displaystyle e}$滿足整係數多項式等式${\displaystyle a_{0}+a_{1}e+\cdots +a_{m}e^{m}=0}$，將此表達式乘以${\displaystyle B(1)}$，他注意到說這會推導出下式：

${\displaystyle R=a_{0}+a_{1}R_{1}(1)+\cdots +a_{m}R_{m}(1)=a_{1}A_{1}(1)+\cdots +a_{m}A_{m}(1).}$

其中右手邊的部分會是一個整數，因此藉由估計輔助函數的值並證明${\displaystyle 0<\left|R\right|<1}$以得到需要的矛盾。

設${\displaystyle \beta }$為等式${\displaystyle ax^{3}+bx^{3}=c}$中${\displaystyle b/a}$的立方根，並設${\displaystyle m}$為滿足${\displaystyle m+1>2n/3\geq m\geq 3}$的整數，其中${\displaystyle n}$為一個正整數。

那麼有

${\displaystyle F(X,Y)=P(X)+Y*Q(X)}$

使得

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}u_{i}X^{i}=P(X)}$

且

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}v_{i}X^{i}=Q(X)}$

輔助多項式定理則表明

${\displaystyle \max _{0\leq i\leq m+n}{(|u_{i}|,|v_{i}|)}\leq 2b^{9(m+n)}}$

1960年代，塞爾日·蘭利用非特定構造出來的輔助函數證明了一個結果。從這結果可同時推得林德曼-魏尔斯特拉斯定理和格爾豐德-施奈德定理。[8]這定理關乎數域${\displaystyle \mathrm {K} }$和階至多為${\displaystyle \rho }$的亞純函數${\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{N}}$，且其中至少兩個函數彼此代數獨立，且其中若對其中一個函數進行微分，那其結果對所有的函數都會是一個多項式。

在這些假設下，這定理指稱若有${\displaystyle m}$個相異的複數${\displaystyle \omega _{1},\cdots ,\omega _{m}}$使得對於任意的${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$而言，${\displaystyle f_{i}(\omega _{j})}$都在${\displaystyle \mathrm {K} }$中，那麼${\displaystyle m}$會有以下上界：

${\displaystyle m\leq 20\rho [K:\mathbb {Q} ]}$

為了證明此點，蘭氏從${\displaystyle \omega _{1},\cdots ,\omega _{m}}$中選出兩個彼此代數獨立的函數${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$，並因此構造出一個以${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$表示的多項式${\displaystyle F}$作為輔助函數。這個輔助函數無法被明確地表明，而這是因為${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$的形式也並非明確已知的之故；然而利用西格爾引理，蘭氏證明了如何構造出一個在${\displaystyle m}$個複數${\displaystyle \omega _{1},\cdots ,\omega _{m}}$上會高次消失的的函數。由於這高次消失的性質之故，因此可證明說${\displaystyle F}$的高次微分的數值會取決於${\displaystyle \omega _{i}}$中某個「大小」較小的數字。此處的「大小」指的是一個數的代數性質。利用最大模原理，蘭氏也發現了一個估計${\displaystyle F}$的微分的絕對值的獨立方法；同時藉由以標準結果來比較一個數及其絕對值得方式，他證明了說除非${\displaystyle m}$滿足上述界限，不然這些估計會彼此矛盾。

一個此方法較簡單的應用，是以此證明實數版的林德曼-魏尔斯特拉斯定理，也就是「若${\displaystyle \alpha }$是一個非零的實代數數，那麼${\displaystyle e^{\alpha }}$會是一個超越數」的定理。

首先，設${\displaystyle k}$為自然數，並設${\displaystyle n}$為${\displaystyle k}$的大倍數。此狀況下所考慮的插值行列式，是一個衍生自如下${\displaystyle n^{4}\times n^{4}}$矩陣的行列式${\displaystyle \Delta }$：

${\displaystyle \left(\{\exp(j_{2}x)x^{j_{1}-1}\}^{(i_{1}-1)}{\Big |}_{x=(i_{2}-1)\alpha }\right)}$

這矩陣橫行的元素的指標為${\displaystyle 1\leq i_{1}\leq n^{4}/k}$以及${\displaystyle 1\leq i_{2}\leq k}$；而其直列的指標則為${\displaystyle 1\leq j_{1}\leq n^{3}}$以及${\displaystyle 1\leq j_{2}\leq n}$。故矩陣中的函數為${\displaystyle x}$和${\displaystyle e^{x}}$的單項式及其微分，並在${\displaystyle 0,\alpha ,2\alpha ,\cdots ,(k-1)\alpha }$等${\displaystyle k}$個點進行插值。

假定${\displaystyle e^{\alpha }}$是一個代數數，那就可構造一個有理數${\displaystyle \mathrm {Q} }$上次數為${\displaystyle m}$的數域${\displaystyle \mathrm {Q} (\alpha ,e^{\alpha })}$，之後將${\displaystyle \Delta }$及其所有將${\displaystyle \mathrm {Q} (\alpha ,e^{\alpha })}$這個域嵌入到${\displaystyle \mathrm {C} }$中的映射的像全數乘以適當的分母。由於代數理由，這乘積必然是一個整數，之後用朗斯基行列式相關的論證，可證明說這數不會是零，故其絕對值${\displaystyle \Omega \geq 1}$會是一個整數。

利用中值定理在矩陣上的版本，可得${\displaystyle \Omega }$的解析界限，實際上若用大O符號表示，有

${\displaystyle \Omega =O\left(\exp \left(\left({\frac {m+1}{k}}-{\frac {3}{2}}\right)n^{8}\log n\right)\right).}$

${\displaystyle m}$的值取決於數域${\displaystyle \mathrm {Q} (\alpha ,e^{\alpha })}$的次數，但${\displaystyle k}$是插值點的個數，因此可自由增減；而在${\displaystyle k>2(m+1)/3}$的狀況下，可得${\displaystyle \Omega \to 0}$，但這與先前得出的條件${\displaystyle \Omega \geq 1}$相矛盾，故${\displaystyle e^{\alpha }}$不能是一個代數數。[11]