連續型均勻分布

連續型均匀分布（英語：）或矩形分布（）的随机变量 ${\mathit {X}}$ ，在其值域之內的每個等長區間上取值的概率皆相等。其概率密度函数在該變量的值域內為常數。若 $X$ 服從 $[a,b]$ 上的均匀分布，則记作 $X\sim U[a,b]$ 。

定义

一个均匀分布在区间[a,b]上的连续型随机变量 $X$ 可给出如下函数：

f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x\leq b\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}\right.

F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.

MGF：

M_{X}(t)=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}

期望值和中值：是指连续型均匀分布函数的期望值和中值等于区间[a,b]上的中间点。

E[X]={\frac {a+b}{2}}

VAR[X]={\frac {(b-a)^{2}}{12}}

均匀分布具有下属意义的等可能性。若 $X\sim U[a,b]$ ,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：

P(c\leq x\leq d)=F(d)-F(c)=\int _{c}^{d}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {d-c}{b-a}}

只与区间[c,d]的长度有关，而与它的位置无关。

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密度函數
累積分布函數
	$a,b\in (-\infty ,\infty )\,\!$
值域	$a\leq x\leq b\,\!$
	${\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{for }}a\leq x\leq b\\\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{matrix}}\,\!$
累積分布函數	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&~~~~~{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\,\!$
期望值	${\frac {a+b}{2}}\,\!$
中位數	${\frac {a+b}{2}}\,\!$
眾數	任何 $[a,b]\,\!$ 内的值
	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!$
偏度	$0\,\!$
峰度	$-{\frac {6}{5}}\,\!$
熵	$\ln(b-a)\,\!$
	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!$
特徵函数	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}\,\!$