逐次积分

对于逐次积分

${\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)dy}$

的计算，首先将y作为常数，对括号里面关于x 积分（此步骤称为部分积分（英：）），

${\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}$

这是个常见的单变量积分，之后再对y积分可得

${\displaystyle \int {\Bigl (}{\frac {x^{2}}{2}}+yx{\Bigr )}dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}$

要注意的是，在该计算过程中应该出现的积分常数被省略了。第一次进行积分时出现的积分常数对于x来说是一个“常数”，严格来说，它是一个可能包含y的函数。这是因为，对f(x,y)关于x偏微分时，只含有y的项会被当作常数，而常数的导数为0，因此y的项就被消掉了。同样的，在第二次关于y的积分中，应该有关于x的函数被添加为“积分常数”。在这种情况下，多元函数的不定积分没有非常明确的意义。相对于单变量函数的原始函数与不定积分最多就差个常数，多变量函数的原始函数中可能和不定积分有很大的差异。

在逐次积分中，计算积分的顺序很重要。例如，对于很多稍微复杂的函数，如果计算顺序改变，结果就会改变。

假设正数单调递增数列 0 < a ₀ < a ₂ < … 满足a _n → 1，定义连续函数g _n在开区间 ( a _n, a _{n +1} ) 中不为 0，此外始终为0，此外如果对于任何n 有${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{n}(x)dx}$，则能定义一个函数f(x,y)

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }(g_{n}(x)-g_{n+1}(x))g_{n}(y)}$

这意味着对于每个 ( x, y )，最多有一个非零项。注意到这一点，有

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)dy}$

（Rudin 1970） 。