逐點收斂

设 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ 是一組有相同定义域的函数序列。序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ 逐点收敛当且仅当存在函数 ${\displaystyle f}$，使得在定义域中的每點 ${\displaystyle x}$，都有：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

这时我们就说序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ 逐点收敛到 ${\displaystyle f}$，或說函數 ${\displaystyle f}$ 是序列 ${\displaystyle f_{n}}$ 的逐點極限函數。在英文中也寫作：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{ pointwise}},}$

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛（英語：）。一致收歛的定义如下： 假設序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 中的函數跟函數 ${\displaystyle f}$ 都有相同的定義域 ${\displaystyle I}$。定義函數序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 一致收敛到 ${\displaystyle f}$，若數列 ${\displaystyle a_{n}=\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in I\,\}}$ 趨近於零，用符號表示就是：${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$，換句話講也就是：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in I\;\}=0}$

兩相比較，一致收敛對於函數趨近的方式限制更大，所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛，反之则不然。一个简单的例子是函数序列 ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]}$，讓 ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$，則 ${\displaystyle (f_{n})}$ 逐点收敛到（不連續）函数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}}$,

但并不一致收敛到該函數，因為對每個 ${\displaystyle n}$，${\displaystyle \sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}}$ 皆為 1，所以

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}=1\neq 0}$。

這說明了序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 並不一致收歛。 一致收敛能够保持函数序列的连续性，但逐点收敛不能。如上例， 序列 ${\displaystyle (f_{n}(x)=x^{n})}$ 都在闭区间 ${\displaystyle [0,1]}$ 上连续，但是 ${\displaystyle (f_{n})}$ 逐点收敛到的函数 ${\displaystyle f}$ 並不是连续函数。

逐點收歛不要求序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 中函数的取值一定是实数，也可以是任何使其定义有意义的拓扑空间。但一致收敛函数的适用范围则相对较小，比如如果函數序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 的對應域僅是拓樸空間，那可能一致收歛的定義並無意義，所以一致收歛的對應域一般在度量空间。因为一致收歛定義中表達趨近的部分我們（部分的）利用了距离的概念（絕對值就是距離的概念），在這定義中無法被其他概念取代，相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念，但可以用拓樸空間中的開集合來取代，。

逐点收敛也可以理解为由半范数${\displaystyle ||f||_{x}=|f(x)|\,}$建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果${\displaystyle f}$的定义域和值域都是紧致的，根据吉洪诺夫定理，这个空间也是紧致的。

在测度理论中，对一个可测空间上的可测函数有几乎处处收敛的概念，也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明，在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛，意味着在稍微较小的集合上一致收敛。

• 一致收敛
• 拓扑空间