達朗貝爾佯謬

现在，假设一个物體以恒速v隨著流体移动，流体在无窮遠處静止。然后流体的速度场必须隨著物體位置而調整，所以它的形式为u(x, t) = u(x − v t, 0)，其中x是空间坐标向量，因此：

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

由于u = ∇φ，因此这可以对x進行積分：

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi +R(t)=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}+R(t).}$

流体施加在物體上的力F由面积分给出

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S}$

其中A表示物體表面積， n表示物體表面積上的法向量 。但它从（2）得出

${\displaystyle p=-\rho {\Bigl (}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}{\Bigr )}=\rho {\Bigl (}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-R(t){\Bigr )},}$

因此

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right){\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S,}$

關於R(t)的部分，其对积分的贡献等于零。

此时，以向量分量來運算會變得更加容易。该等式的第k个分量为

${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i})n_{k}\,\mathrm {d} S.\qquad (3)}$

设V是流体占据的体积。散度定理说明

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V.}$

右侧是无限体积的积分，所以這邊需要一些證明，可以訴諸勢能理論來表明速度u必須作為r⁻³下降（在三維物體大小有限的情形下，对应于偶极势场 ）其中r是到物體中心的距离。體積分中的被積函數可重寫如下：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}}$

這邊使用了第一個等式（1）以及流體的不可壓縮性。將其代回體積分，並再次使用散度定理。這就產生了

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,\mathrm {d} S.}$

將其代入（3）之中，我们发现

${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}u_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$

由於液体不能穿透物體，因此在物體表面n · u = n · v。所以,${\displaystyle \sum _{i}n_{i}\,v_{i}=\sum _{i}n_{i}\,u_{i}}$

加上

${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$

最后，阻力是在物體移动方向的力，所以

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {F}}=\sum _{k}v_{k}F_{k}=0.}$

因此阻力消失了，此即為達朗貝爾佯謬。