配方法

注意${\displaystyle \left(cx+d\right)^{2}+e=c^{2}x^{2}+2cdx+d^{2}+e}$。为了把${\displaystyle c^{2}x^{2}+2cdx+d^{2}+e\!}$化为 ${\displaystyle ax^{2}+bx+f\!}$ 的形式，我们必须进行以下的代换：

${\displaystyle {\begin{aligned}a&{}=c^{2},\\b&{}=2cd,\\f&{}=d^{2}+e.\end{aligned}}}$

现在，${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和${\displaystyle f}$依赖于${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$和${\displaystyle e}$，因此我们可以把${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$和${\displaystyle e}$用${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和${\displaystyle f}$来表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}c&{}=\pm {\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2c}}\\&{}=\pm {\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=f-d^{2}\\&{}=f-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}}$

当且仅当${\displaystyle f}$等于零且${\displaystyle a}$是正数时，这些方程与以上是等价的。如果${\displaystyle a}$是负数，那么${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$的表达式中的±号都表示负号──然而，如果${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$都是负数的话，那么${\displaystyle (cx+d)^{2}}$的值将不受影响，因此${\displaystyle \pm }$号是不需要的。

${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left[x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right]-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{6\cdot 20+7^{2} \over 20}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}\end{aligned}}}$

从中我們可以求出多項式为零时${\displaystyle x}$的值，也就是多项式的根。

${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=0\\5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}&{}=0\\\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}&{}={169 \over 100}\\&{}=\left({13 \over 10}\right)^{2}\\x+{7 \over 10}&{}=\pm {13 \over 10}\\x&{}={-7\pm 13 \over 10}\\&{}={3 \over 5}{\mbox{ or }}-2\end{aligned}}}$

我们也可以求出${\displaystyle x}$取得什么值时，以下的多项式为最大值或最小值：

$${\displaystyle y=5x^{2}+7x-6}$$

最高次数的项${\displaystyle x^{2}}$的系数为正，因此${\displaystyle x}$的绝对值越大，${\displaystyle y}$就越大。但是，${\displaystyle y}$有一个最小值，在任何地方都不能比它更小。从完全平方的形式中，${\displaystyle y=5\left(x+{\frac {7}{10}}\right)^{2}-{\frac {169}{20}}}$，我们可以看到，如果${\displaystyle x=-{7 \over 10}}$，那么${\displaystyle y=-{\frac {169}{20}}=-8.45}$；但如果${\displaystyle x}$是任何其它的数，${\displaystyle y}$都是${\displaystyle -{\frac {169}{20}}}$加上一个非零的平方数。由于非零实数的平方都是正数，因此当${\displaystyle x}$不为 ${\displaystyle -{\frac {7}{10}}}$时，${\displaystyle y}$一定大于−8.45。所以，${\displaystyle (x,y)=\left(-{\frac {7}{10}},-{\frac {169}{20}}\right)=(-0.7,-8.45)=}$就${\displaystyle y}$的最小值。

假设我们要求出以下函数的原函数：

$${\displaystyle \int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx.\,\!}$$

这可以用把分母配方来完成。分母是：

$${\displaystyle 9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241}$$

把两边${\displaystyle x^{2}-10x}$加上${\displaystyle ({\frac {10}{2}})^{2}=25}$，就可以得到一个完全平方，${\displaystyle x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}}$。分母变为：

${\displaystyle {\begin{aligned}9(x^{2}-10x)+241&{}=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)\\&{}=9(x-5)^{2}+16\end{aligned}}}$

因此积分为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx&{}={\frac {1}{9}}\int {\frac {1}{(x-5)^{2}+({\frac {4}{3}})^{2}}}\,dx\\&{}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\end{aligned}}}$

考虑以下的表达式：

$${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c}$$

其中${\displaystyle z}$和${\displaystyle b}$是复数，${\displaystyle z^{*}}$和${\displaystyle b^{*}}$分别是${\displaystyle z}$和${\displaystyle b}$的共轭复数，${\displaystyle c}$是一个实数。利用恒等式${\displaystyle \left\vert u\right\vert ^{2}=uu^{*}}$，我们可以把它写成：

$${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c}$$

这显然是一个实数。这是因为：

${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{aligned}}}$

作为另外一个例子，以下的表达式

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c}$$

其中${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是实数，${\displaystyle a>0}$且${\displaystyle b>0}$，可以用一个复数的绝对值的平方来表示。定义

$${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y}$$

那么

${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$

因此

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c\,\!}$$

从以下的恒等式中，

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$

我们可以看出，正数${\displaystyle x}$与它的倒数的和总是大于或等于 2。

假设我们要把以下的四次多项式分解：

$${\displaystyle x^{4}+324}$$

也就是：

$${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2}}$$

因此中间的项是${\displaystyle 2(x^{2})(18)=36x^{2}}$。所以，我们有：

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$

最后一个步骤是把所有的项按降幂方式排列。