重整化群

基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程：[1]

费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正規化等想法应用于量子电动力学。[2][3][4]

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。[5]

然后肯尼斯·威爾森使用重整化群解决近藤问题，[6] 以及描述临界现象和第二相變。[7][8][9] 他1982年赢了诺贝尔奖。[10]

这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。[5]

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为${\displaystyle T}$，相互作用的强度使用耦合常数${\displaystyle J}$来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为${\displaystyle H(T,J)}$。

现在，我们把这个系统分为有着${\displaystyle 2\times 2}$个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数${\displaystyle T}$和${\displaystyle J}$不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到${\displaystyle H(T'',J'')}$，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数${\displaystyle J}$代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

1. ${\displaystyle T=0}$和${\displaystyle J\to \infty }$。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
2. ${\displaystyle T\to \infty }$和${\displaystyle J\to 0}$。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。
3. ${\displaystyle T=T_{c}}$且${\displaystyle J=J_{c}}$。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。

假设有一个可以用状态变量${\displaystyle \{s_{i}\}}$和一组耦合常数${\displaystyle \{J_{k}\}}$表示的函数${\displaystyle Z}$。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$，${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$所包含的数目必须小于${\displaystyle s_{i}}$。接下来我们可以把函数${\displaystyle Z}$只用${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$来表示。如果${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$也是可以实现的，那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。

变量的变换可以由一个β函数实现：${\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}$。这一函数可以在${\displaystyle J}$空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

参见Phi fourth theory（四次交互论； ${\displaystyle \phi ^{4}}$论）。欧几里得空间的拉氏量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}.}$

配分函数或泛函积分是：

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}$

通过重正化以及正规化 ${\displaystyle \Lambda }$： ${\displaystyle [D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)}$

${\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}$

若 ${\displaystyle 0<b<1}$：

${\displaystyle {\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\0,&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}}$

${\displaystyle \phi (p)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\\phi (p),&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}}$

所以

${\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\lambda \over 4!}(\phi +{\hat {\phi }})^{4}\right)\right].}$

介绍 ${\displaystyle \phi {\hat {\phi }}}$ ：

${\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}(\phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\lambda ({1 \over 6}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{1 \over 4}\phi ^{2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 6}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{1 \over 4!}{\hat {\phi }}^{4})\right)\right].}$

所以新的拉氏量是${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )}$以及

${\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )\right]},}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )}$ 不同于${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )}$，因为${\displaystyle \lambda ,\phi }$ 改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory。若 ${\displaystyle x'=bx,p'={p \over b},|p|<\Lambda }$.

${\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d}\left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{1 \over 2}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{1 \over 4!}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4}+\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+...\right]}$

假设

${\displaystyle \phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi }$

${\displaystyle m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2}}$

${\displaystyle \lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4}}$

${\displaystyle B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}}$

${\displaystyle C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}}$

所以

${\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{1 \over 2}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{1 \over 2}m'^{2}\phi '^{2}+{1 \over 4!}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{6}+...\right]}$

耦合常數的变量为 ${\displaystyle \Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda }$。耦合常數的演进是动力系统的临界点：

${\displaystyle m'^{2}=m^{2}b^{-2},\lambda '=\lambda b^{d-4},B'=Bb^{d},C'=Cb^{2d-6}}$

米切爾·費根鮑姆使用重整化群计算費根鮑姆常数，而且将重整化应用于分岔理論。[11]

阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、費根鮑姆常數等[12][13]

其他应用包括：

• 混沌理论
• 湍流
• 分形
• 随机微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation[14]、参见马丁·海雷尔的研究[15][16]
• 渗流理论

等

• 重整化
• 密度矩陣重整化群
• 临界现象
• 普遍性