重整化群

理论物理中,重整化群(renormalization group,简称RG)是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换,它们都与自相似有关。在重整化理论中,系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度,但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子基本粒子自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

方程

基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度,重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程:[1]

g(μ) = G−1( (μ/M)d G(g(M)) ) ,

g(κ) = G−1( (κ/μ)d G(g(μ)) ) = G−1( (κ/M)d G(g(M)) )

费恩曼朱利安·施温格朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖,因为他们都把重整化以及正規化等想法应用于量子电动力学[2][3][4]

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化[5]

然后肯尼斯·威爾森使用重整化群解决近藤问题[6] 以及描述临界现象和第二相變[7][8][9] 他1982年赢了诺贝尔奖[10]

块自旋

这一节介绍重整化群的一个简单图像:块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。[5]

首先考虑一个固体,如图所示,原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用,且这一系统的温度为,相互作用的强度使用耦合常数来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达,记为

现在,我们把这个系统分为有着个方块的块区,进而用块变量来描述这个系统,这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述,只不过参数不同(事实上这一假设当然并不成立,但在实际应用中这一近似已足够好)。

原本这个系统内有较多的原子,现在,在问题重整化后,只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到,这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然,最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说,当迭代很多次后,重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子:铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里,耦合常数代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点:

  1. 。从宏观上来看,温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
  2. 。与第1种情形正好相反,温度对系统的影响占据了主导,系统在宏观上变得无序。
  3. 。在这一特定的状态上,改变系统的标度不改变系统的物理性质,因为系统处于分形态上。这对应居里相变,这个点称为临界点

基本理论

假设有一个可以用状态变量和一组耦合常数表示的函数。这个函数必须能够用来描述整个物理系统,比如某个配分函数作用量哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换所包含的数目必须小于。接下来我们可以把函数只用来表示。如果也是可以实现的,那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的,比如量子电动力学量子色动力学,电弱相互作用等,但是引力是无法重整化的。此外,凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的,比如超导超流

变量的变换可以由一个β函数实现:。这一函数可以在空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的,这一变换不可逆,所以这一变换实际上是数学上的半群。

举例计算

参见Phi fourth theory(四次交互论; 论)。欧几里得空间的拉氏量

配分函数泛函积分是:

通过重正化以及正规化

所以

介绍

所以新的拉氏量是以及

不同于,因为 改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory。若 .

假设

所以

耦合常數的变量为 耦合常數的演进是动力系统临界点

三种耦合

  • 无关耦合(irrelevant):耦合减少了
  • 相关耦合(relevant):耦合增加了
  • 边缘耦合(marginal):耦合不变

,因为所以B和C是无关的,m是相关的,并且是边缘的。

而且论是可重整化的。

动力系统的重整化

米切爾·費根鮑姆使用重整化群计算費根鮑姆常数,而且将重整化应用于分岔理論[11]

阿图尔·阿维拉巴西数学家)也将重整化群应用于动力系统費根鮑姆常數[12][13]

其他应用包括:

参见

扩展阅读

入门教程与历史回顾

相关著作

  • T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是总结
  • L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
  • Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
  • Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
  • The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript 页面存档备份,存于.
  • Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF 页面存档备份,存于.

参考文献

  1. M. Gellman and F. E. Low. (PDF). (原始内容存档 (PDF)于2018-07-24).
  2. Mehra, Jagdish; Milton, Kimball A. . Oxford University Press https://www.oxfordscholarship.com/view/10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8. 2003-08-14 [2020-03-04]. ISBN 978-0-19-170959-3. doi:10.1093/acprof:oso/9780198527459.001.0001/acprof-9780198527459-chapter-8. (原始内容存档于2020-07-28) (美国英语). 缺少或|title=为空 (帮助)
  3. . NobelPrize.org. 1966 [2020-03-04]. (原始内容存档于2021-04-21) (美国英语).
  4. Schwinger. (PDF). (原始内容存档 (PDF)于2020-03-04).
  5. Kadanoff, Leo P. . Physics Physique Fizika. 1966-06-01, 2 (6): 263–272. ISSN 0554-128X. doi:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 (英语).
  6. Wilson, Kenneth G. . Reviews of Modern Physics. 1975-10-01, 47 (4): 773–840. ISSN 0034-6861. doi:10.1103/RevModPhys.47.773 (英语).
  7. Wilson, Kenneth G. . Physical Review B. 1971-11-01, 4 (9): 3174–3183. ISSN 0556-2805. doi:10.1103/PhysRevB.4.3174 (英语).
  8. Wilson, Kenneth G. . Physical Review B. 1971-11-01, 4 (9): 3184–3205. ISSN 0556-2805. doi:10.1103/PhysRevB.4.3184 (英语).
  9. Wilson, Kenneth G.; Fisher, Michael E. . Physical Review Letters. 1972-01-24, 28 (4): 240–243. ISSN 0031-9007. doi:10.1103/PhysRevLett.28.240 (英语).
  10. (PDF). K. G. Wilson. (原始内容存档 (PDF)于2021-05-07).
  11. (PDF). (原始内容 (PDF)存档于2010-12-14).
  12. Étienne Ghys. (PDF). (原始内容存档 (PDF)于2020-03-04).
  13. A. Avila. . (原始内容存档于2021-01-26).
  14. Hairer. . (原始内容存档于2021-03-08).
  15. Hairer, Martin. . arXiv:1803.03044 [math-ph]. 2018-03-08 [2020-03-04]. (原始内容存档于2021-05-06).
  16. Chandra, Ajay; Hairer, Martin. . arXiv:1612.08138 [math-ph]. 2018-01-22 [2020-03-04]. (原始内容存档于2021-05-06).
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