長球面坐標系

${\displaystyle \mu }$ 坐標曲面是長球面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$ 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 ${\displaystyle a\sinh \mu }$ ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 ${\displaystyle a\cosh \mu }$ 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 ${\displaystyle \pm a}$ 。

${\displaystyle \nu }$ 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$ 。

當 ${\displaystyle \nu <\pi /2}$ 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 ${\displaystyle \nu >\pi /2}$ 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

${\displaystyle \phi }$ 坐標曲面是個半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$ 。

長球面坐標 ${\displaystyle \mu }$ 與 ${\displaystyle \nu }$ 的標度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$ 。

方位角 ${\displaystyle \phi }$ 的標度因子為

${\displaystyle h_{\phi }=a\sinh \mu \ \sin \nu }$ 。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 ${\displaystyle H_{2}^{+}}$ 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 (${\displaystyle \mu =0}$) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 (${\displaystyle \nu =0}$) 產生的電場。

${\displaystyle \sigma }$ 坐標曲面是長球面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)}}=1}$ 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 ${\displaystyle a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}$ ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 ${\displaystyle a\sigma }$ 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 ${\displaystyle \pm a}$ 。

${\displaystyle \tau }$ 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(1-\tau ^{2})}}=1}$ 。

當 ${\displaystyle \tau >0}$ 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 ${\displaystyle \tau <0}$ 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

${\displaystyle \phi }$ 坐標曲面是個半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$ 。

任何一點 P 與焦點 ${\displaystyle F_{1}}$ ，${\displaystyle F_{2}}$ 的距離 ${\displaystyle d_{1}}$ ，${\displaystyle d_{2}}$ ，可以一個很簡單的公式表示：

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }$ 、

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }$ 。

所以，點 P 與焦點 ${\displaystyle F_{1}}$ 的距離 ${\displaystyle d_{1}}$ 是 ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ，點 P 與焦點 ${\displaystyle F_{2}}$ 的距離 ${\displaystyle d_{2}}$ 是 ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ 。（回想 ${\displaystyle F_{1}}$ ，${\displaystyle F_{2}}$ 都是在 z-軸，分別位於 ${\displaystyle z=-a}$ ，${\displaystyle z=+a}$ 。）

第二種長球面坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 的標度因子分別為:

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$ 、

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$ 。

無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau d\phi }$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

• Morse PM, Feshbach H. . New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用 ${\displaystyle \xi _{1}=a\cosh \mu }$ 、${\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu }$ 、${\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi }$ 。

• Zwillinger D. . Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 ${\displaystyle u_{k}}$ 來替代 ${\displaystyle \xi _{k}}$ 。

• Smythe, WR. 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. . New York: Springer Verlag. 1967: p. 97. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標 ${\displaystyle \xi =\cosh \mu }$ 、${\displaystyle \eta =\sin \nu }$ 、${\displaystyle \phi =\phi }$ 。

• Korn GA, Korn TM. . New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用第一種表述 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$ ，又加介紹了簡併的第三種表述 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$ 。

• Margenau H, Murphy GM. . New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 ${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$ 來替代緯度 ${\displaystyle \nu }$ 。

• Moon PH, Spencer DE. . corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7. 引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer 採用餘緯度常規 ${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }$ ，又改名 ${\displaystyle \phi }$ 為 ${\displaystyle \psi }$ 。

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 引文格式1维护：冗余文本 (link) 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。