開爾文環流定理

材料圍線${\displaystyle C(t)}$的環流 ${\displaystyle \Gamma }$的定義為：

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

其中u為速度向量，ds為沿着閉合圍線的單元。

徹體力保守的非黏性流體的主宰方程式為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$

其中D/Dt為實質導數，ρ為流體密度，p為密度，以及Φ為徹體力的勢。上式為帶徹體力的歐拉方程。

正壓性條件意味着密度是壓力的函數，且為其唯一自變量，即${\displaystyle \rho =\rho (p)}$。

取環流的實質導數，得：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}}$

把主宰方程式代入第一項並使用斯托克斯定理，得：

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

最後的等式是源自${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}$，它是正壓性的結果。同時亦使用了任何函數${\displaystyle f}$的梯度的旋度皆為零這一事實${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$。

已知材料線元的時間進化由下式給出（可由實質導數的定義求得）

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}}$

因此

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0}$

使用交換律後再使用${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\nabla \left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)}$。而最後的等式則使用了斯托克斯定理。

由於第一項及第二項皆為零，得

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

• 亥姆霍兹定理 (流体力学)