闭形式和恰当形式

庞加莱引理断言：如果 ${\displaystyle X}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中可缩开子集，对任何整数 ${\displaystyle p>0}$，任何定义在 ${\displaystyle X}$ 上的光滑闭 ${\displaystyle p}$-形式 ${\displaystyle \alpha }$ 是恰当的（这只在 ${\displaystyle p\leq n}$ 有内容）。

可缩意味着存在同伦映射 ${\displaystyle F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X}$ 将 ${\displaystyle X}$ 形变为一点。从而任何 ${\displaystyle X}$ 中的闭链 ${\displaystyle c}$ 都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 ${\displaystyle X}$ 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地，我们将 ${\displaystyle X}$ 与柱 ${\displaystyle X\times [0,1]}$ 联系起来，分别通过映射 ${\displaystyle j_{1}(x)=(x,1)}$与${\displaystyle j_{0}(x)=(x,0)}$与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 ${\displaystyle j_{1}^{*}}$与 ${\displaystyle j_{0}^{*}}$ 由上链同伦联系：

${\displaystyle Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .}$

令 ${\displaystyle \Omega ^{p}(x)}$表示 ${\displaystyle X}$ 上的 ${\displaystyle p}$-形式，映射${\displaystyle K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)}$是柱映射的对偶，定义为：

${\displaystyle a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},}$

这里 ${\displaystyle dx^{p}}$ 是一个不含 ${\displaystyle dt}$ 的单项 ${\displaystyle p}$-形式。所以如果${\displaystyle F}$是${\displaystyle X}$到一点${\displaystyle Q}$的同伦形变，那么

${\displaystyle F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .}$

在形式上：

${\displaystyle j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .}$

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理。

不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如，在${\displaystyle t\in [0,1]}$参数化圆周${\displaystyle S^{1}}$上，闭 1-形式${\displaystyle dt}$不是恰当的（注意：${\displaystyle t}$不能定义为整个 ${\displaystyle S^{1}}$上的函数，但${\displaystyle dt}$是一个良定的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但${\displaystyle dt}$在圆周上积分是${\displaystyle 2\pi }$。

• Bott, Raoul; Tu, Loring W., , Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7
• 陈维桓, 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7