階躍響應

在许多情况下，可以用时间常数 τ 的单一主导极点很好地模拟正向放大器，它的开环增益为：

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }}}$，

零频率增益为 A₀，角频率 ω = 2πf。这种正向放大器有单位阶跃响应

${\displaystyle S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })}$，

是从零到新平衡值 A₀ 的指数趋近。

单极点放大器的传递函数导出闭环增益：

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\times {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}}$

此闭环增益与开环增益是形式相同：均为单极滤波器。其阶跃响应的形式相同：一个趋于新平衡值的指数衰减。但闭环阶跃函数的时间常数为 τ / (1 + β A₀)，因此因此它比前向放大器的响应快，是其 1 + β A₀ 倍：

${\displaystyle S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau })}$，

由于反馈因子 β 的增加，阶跃响应会更快，直到最初假设的一个主导极点不再准确。如果有第二个极点，则随着闭环时间常数区域第二个极点的时间常数，需要进行双极点分析。

在开环增益有两个极点的情况下（两个时间常数，τ₁和τ₂），阶跃响应更为复杂。开环增益为：

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},}$

零频率增益为 A₀，角频率 ω = 2πf。

双极点放大器的传递函数可以导出闭环增益：

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\times {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}}$

图2：双极点反馈放大器的共轭极点位置；Re(s) = 实轴，Im(s) = 虚轴。

放大器的时间相关性通过切换变量 s = jω 很容易发现，于是增益变为：

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\times {\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

这个表达式的极点（即分母的零点）位于：

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

这说明对于足够大 βA₀ 平方根就会变成虚数，极点的位置是共轭复数，s₊ 与 s₋；参见图2：

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,\,}$

其中

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

而

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}}$

使用极坐标系，根的半径的模为 |s|（图2）：

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

而角坐标 φ 为：

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}}$

拉普拉斯变换表告诉我们这样一个系统的时间响应是由两个函数的组合而成的：

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad }$ ${\displaystyle e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

也就是说，解在时间上阻尼振荡。特别是，该系统的单位阶跃响应为：[2]

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin(\phi )}}\right)\ ,}$

化简为

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin(\phi )}}\ }$

当 A₀ 趋于无穷大时，反馈系数 β 为1。

注意到响应的阻尼是由 ρ 決定的，也就是由开环放大器的时间常数确定的。相反，振荡的频率是由 μ 确定的，也就是由, 通过 βA₀ 由反馈参数确定的。因为 ρ 涉及到时间常数的倒数之和，所以可以发现 ρ 主要受到两个时间常数中较短的那个影响。

图3：线性双极点反馈放大器的阶跃响应；时间的单位是 1/ρ，也就是以 A_OL 的时间常数为变量；曲线是用 mu = μ 的三个不同取值画成的， μ 由 β 控制。

图3显示了参数 μ 取3个不同值时，单元阶跃输入的时间响应。可以看出随着 μ 增加，振荡频率也会增加，但振荡被包含在由指数型函数 [ 1 − exp (−ρt) ] 和 [ 1 + exp(−ρt) ] 确定的两条渐近线以内。这两条渐近线是由 ρ 决定的，所以也就由开环放大器的时间常数决定，与反馈无关。

终值的振荡现象被称为振鈴。过冲是指摆动最大值高于终值，显然会随着 μ 增加。同样，下冲是指摆动最小值低于终值，同样也会随着 μ 增加。安定時間是指从终值出发，降到低于某个特定水平（终值的10%）用的时间。

稳定时间对 μ 的依赖性不明显，而双极点系统的近似可能不能达到用稳定时间对反馈的依赖性作出现实中的结论的准确性。但渐近线 [ 1 − exp (−ρt) ] 与 [ 1 + exp (−ρt) ] 显然影响稳定时间，它们被开环放大器的时间常数控制，特别是在2个时间常数中的时间较短的。这表明开环放大器的设计必须满足稳定时间的规定。

此分析的有两个主要结论：

1. 反馈控制了给定开环放大器并给定开环时间常数 τ₁ 与 τ₂ 时终值上下振荡的幅度。
2. 开环放大器决定了稳定时间。它确定了图3中的时标，开环放大器越快，时标越快。

顺便说一句，可以注意到实际中与线性双极点模型的偏离主要来自两个方面：其一，实际放大器的极点多於两个，零点也是；其二，实际放大器是非线性的，所以它们的阶跃响应会随着信号幅度变换。

图4：α 的三个不同取值的阶跃响应。顶部：α  = 4；中间：α = 2；底部：α = 0.5。随着 α 减小，极点分离也会减小，而过冲增加。

以下會說明如何用適當的參數選擇來減少過沖。

利用以上的公式，可以將階躍響應微分找最大值來計算過沖量。其過沖量最大值S_max 為 ：[3]

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right)}$

階躍響應的終值為1，因此其指數即為過沖量。可以看出若μ = 0，其過沖量為0，也就是：

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}$

令x = ( τ₁ / τ₂ )^{1 / 2} ，可以求解二個時間常數之間的比例，結果為

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}\,}$

因為β A₀ >> 1，因此平方根中的1可以省略，得到

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}}$

換句話說，第一個時間常數需遠大於第二個時間常數。有時系統為了一些特性，需要允許一些過沖量，以下的關係中引入一個因子α：

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

α可以依允許的過沖量來設計。

圖4就是描述其程序。比較上圖（α = 4）及下圖（α = 0.5）可以看出α較小，可以加快響應的速度，但也讓過沖量變大。中間的圖α = 2為幅度最平坦的滤波器，在波德圖上沒有尖點。此設計有經驗法則內建的安全預度，可以處理像重零點、重極點、非線性（例如和信號振幅相依的特性）及製造的變異，這些都可能造成過大的過沖量。極點擺放位置（也就是α）的調整是頻率補償的主題，其中一個方式是極點分離。

图3中阶跃响应中振铃的幅度是由阻尼因数 exp ( −ρ t ) 决定的。也就是说，如果我们指定出可接受的阶跃响应离终值的偏移量 Δ，即：

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,\,}$

在时间长于稳定时间 t_S 这个前提下，无论 β A_OL 的值为多少时这个条件都能满足。稳定时间 t_S 为：[4]

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln \left({\frac {1}{\Delta }}\right)}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln \left({\frac {1}{\Delta }}\right)}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln \left({\frac {1}{\Delta }}\right),}$

因為過沖的條件，τ₁ = αβA_OL τ₂，因此τ₁ >> τ₂ 成立。一般稳定时间條件是指稳定时间和其單位增益的頻寬成反比的情形，原因是1/(2π τ₂)接近放大器在典型主極點補償下的頻寬。不過此結果比經驗法則的結果更準確。例如，若Δ = 1/e⁴ = 1.8 %，其稳定时间為t_S = 8 τ₂。

一般而言，對過沖量的控制會決定二個時間常數的比例，稳定时间t_S 會決定 τ₂[5][6][7]。

圖5：波德圖可以找出相位裕度，其尺度是對數的，因此二個刻度之間的間隔是其比例，例如f_0 dB = βA₀ × f₁。

其次，極點比例τ₁/τ₂也和回授放大器的相位裕度有關[8]。圖5是二個極點放大器的波德圖，頻率到第二個極點的位置。圖5的假設是頻率f_0 dB在位在f₁ = 1/(2πτ₁)的最小極點及位在f₂ = 1/(2πτ₂)的第二極點之間。如圖5所示，若 α ≥ 1，此假設即成立。

利用圖5，頻率（用f_0 dB表示)為迴路增益 βA₀滿足單位增益或是0 dB條件的位置，可以定義為：

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1\ }$

波德增益圖中增益下降的斜率是 20 dB/decade，頻率每增加十倍，增益下降的比例相同：

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}\,}$

相位裕度是頻率在f_0 dB 處，相位和−180°之間的距離，因此裕度為：

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\ }$

因為f_0 dB / f₁ = βA₀ >> 1，有關f₁的項為90°，因此相位裕度為：

${\displaystyle \phi _{m}=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\,}$

${\displaystyle =90^{\circ }-\arctan \left({\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\right)}$

${\displaystyle =90^{\circ }-\arctan \left({\frac {1}{\alpha }}\right)=\arctan \left(\alpha \right)}$

若α = 1，則 φ_m = 45°，若α = 2，則φ_m = 63.4°. Sansen[9]建議α = 3，對應的φ_m = 71.6°「是一種很好的啟始條件。」

若τ₂縮短，α會增加。穩定時間t_S 也會減小。若τ₁變大，α也會增加，穩定時間會略有變動。若用到極點分離技巧，τ₁和 τ₂都會變化。

若放大器有二個以上的極點，圖5的波德圖仍然可以計算相位裕度，只要將f₂視為「等效的第二極點」位置即可[10]。

若針對一個一般的動態系統，其階躍響應可定義如下：

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right)}\,}$

其階躍響應是系統輸入為單位階躍函數時的演化函數。表示式中H(t)為下標。

對於一個線性非時變系統，令${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {S}}\ \equiv \ S}$，其階躍響應可以用單位階躍函數${\displaystyle \textstyle H(t)}$和系統衝激響應${\displaystyle \textstyle h(t)}$的卷積來表示：

${\displaystyle a(t)={h*H}(t)={H*h}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau }$

對線性非時變系統而言就是將後面的式子積分。相對的，對於線性非時變系統，階躍響應的微分即為衝激響應：

${\displaystyle h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t)}$

不過此關係在非線性系統或是時變系統並不成立[1]。

對於一個線性非時變系統，其階躍響應可以用單位階躍函數${\displaystyle \textstyle H(t)}$和系統衝激響應${\displaystyle \textstyle h(t)}$的卷積來表示：

${\displaystyle a(t)={h*H}(t)={H*h}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau }$